直线的倾斜角与斜率_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的方程为+= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(，)为椭圆上一点．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点P（x0，y0）满足=+2，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-，求证：+2为定值；

（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）因为点Q(，)为椭圆上一点，

所以+=1，解得a2=4，

所以椭圆方程为+=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

又kOM•kON=•=-，化简得x1x2+2y1y2=0，

又M、N是椭圆C上的点，所以+=1，+=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，

由=+2，⇒，

所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2

=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2

=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）

=20（定值）；

（3）由（2）知，动点P（x0，y0）满足x02+2y02=20，即+=1，

所以点P的轨迹是以(±，0)为焦点的椭圆．

故存在点A（，0）、B（-，0），使得|PA|+|PB|=4（定值）．

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题型：填空题

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填空题

若直线ax+by=1的法向量为（1，2），则直线bx-3ay+5=0的倾斜角为______．

正确答案

∵直线ax+by+1=0的一个法向量（1，2）

∴直线ax+by+1=0满足

2a-b=0

故直线bx-3ay+5=0的斜率为 =

故直线的倾斜角为 arctan

故答案为：arctan．

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题型：填空题

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填空题

给出下列命题：

①若a＞b，n=2k+1，（k∈N*），则an＞bn； ②若ab≥0，则|a-b|=|a|-|b|；③设A（m，m+1），B（2，m-1），则直线AB的倾斜角α=arctan；④如果曲线C上的点的坐标（x，y）满足方程F（x，y）=0，则方程，F（x，y）=0的曲线是C．其中真命题的序号是______．

正确答案

对于①考察幂函数y=xn，n=2k+1，（k∈N*），它在R上是增函数，若a＞b，n=2k+1，（k∈N*），则an＞bn；正确；

对于 ②若a=0，b≠0，则|a-b|≠|a|-|b|；错；

③设A（m，m+1），B（2，m-1），直线AB的斜率k=，只有当m＞2时，直线AB的倾斜角α=arctan；故③错；

④虽然曲线C上的点坐标满足方程f（x，y）=0，但满足方程f（x，y）=0的点不一定在曲线C上．f（x，y）=0所表示的曲线不一定是C，故错．

其中真命题的序号是①

故答案为：①．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，=2+2（，分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x2-x-6．

（1）求k，b的值；

（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数的最小值．

正确答案

（1）由已知得A（-，0），B（0，b），则={，b}，

于是=2，b=2、∴k=1，b=2．

（2）由f（x）＞g（x），得x+2＞x2-x-6，

即（x+2）（x-4）＜0，得-2＜x＜4，

由==x+2+-5

由于x+2＞0，则≥-3，其中等号当且仅当x+2=1，即x=-1时成立

∴的最小值是-3．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的顶点A（1，0），B(3，2)，C（-2，3）．

（1）求AB边上的高所在的直线方程；

（2）求∠BAC的大小．

正确答案

（1）∵A（1，0），B(3，2)

∴kAB==…（2分）

∴AB边上的高所在的直线的斜率k=-=-=-…（4分）

∴AB边上的高所在的直线方程为：y-3=-(x+2)，即x+y+2-3=0…（6分）

（2）∵A（1，0），B(3，2)，C（-2，3）

∴kAC==-1…（8分）

由（1）知kAB=

∴直线AB、AC的倾斜角分别为600和1350…（10分）

∴∠BAx=60°，∠CAx=135°…（12分）

∴∠BAC=∠CAx-∠BAx=135°-600=750…（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C：x2+y2+2x+m=0（m∈R）

（1）讨论曲线C的形状；

（2）若m=-7，过点P（-1，2）的直线与曲线C交于A，B两点，且|AB|=2，求直线AB的倾斜角α．

正确答案

（1）由曲线C：x2+y2+2x+m=0可得（x+1）2+y2=1-m，

①当1-m＞0，即m＜1时，曲线C表示的是以C（-1，0）为圆心，r=为半径的圆；

②当1-m=0，即m=1时，曲线C表示的是一个点C（-1，0）；

③当1-m＜0，即m＞1时，曲线C不表示任何图形．

（2）当m=-7时，曲线C化为：（x+1）2+y2=8．

若直线AB⊥x轴，则线段AB为直径，于是|AB|=4与已知|AB|=2矛盾，应舍去，因此直线AB与x轴不垂直．

设直线AB的斜率为k，则方程为y-2=k（x+1），化为kx-y+k+2=0．

由点到直线的距离公式可得圆心C（-1，0）到直线AB的距离d==，

∵|AB|=2，

∴2=2，化为k2=3，∴k=±．

∴tanα=±，又∵α∈[0，π），∴α=或．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．

（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；

（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

正确答案

（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），

由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）

因为点F到直线l的距离为，

所以=，…（3分）

解得k=±，所以直线l的斜率为±．…（5分）

（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

因为AB不垂直于x轴，

则直线MN的斜率为，

直线AB的斜率为，…（7分）

直线AB的方程为y-y0=(x-x0)，…（8分）

联立方程

消去x得(1-)y2-y0y++x0(x0-4)=0，…（10分）

所以y1+y2=，…（11分）

因为N为AB中点，

所以=y0，即=y0，…（13分）

所以x0=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：x+ay+1-a=0．

（Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（-2，-1），B（1，1），求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程．

正确答案

（Ⅰ）直线l过定点P（-1，1），KPA=2，KPB=0，要使l满足条件，必须

当a=0时，满足条件；当a≠0时，l的斜率-≥2或-＜0

即a＞0或0＞a≥-，综上得a≥-；

（Ⅱ）M(a-1，0)，N(0，)，依题意有，而S△OMN=-(a+-2)，∵a＜0，∴a+-2≤-4，即S△OMN=-(a+-2)≥2，当a=-1时，面积的最小值为2，此时直线的方程为x-y+2=0．

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题型：简答题

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简答题

已知定点A（2，-5），动点B在直线2x-y+3=0上运动，当线段AB最短时，求B的坐标．

正确答案

如图．易知当AB的连线与已知直线垂直时，AB的长度最短．

直线2x-y+3=0的斜率k=2，

∴AB的斜率KAB=-

AB的斜率的方程为：

y+5=-（x-2），⇒x+2y+8=0，

⇒，

B的坐标为(-，-)．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点P（0，p）的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2相交于点M．

（Ⅰ）证明：直线l1和l2的斜率之积为定值；

（Ⅱ）求点M的轨迹方程．

正确答案

（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，

将其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0（2分）

设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=-2p2（3分）

将抛物线的方程改写为y=x2，求导得y′=x．

所以过点A的切线l1的斜率是k1=，过点B的切线l2的斜率是k2=，

故k1k2==-2，所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2（6分）

（Ⅱ）设M（x，y）．因为直线l1的方程为y-y1=k1（x-x1），即y-=(x-x1)，

同理，直线l2的方程为y-=(x-x2)，

联立这两个方程，消去y得-=(x-x2)-(x-x1)，

整理得(x1-x2)(x-)=0，注意到x1≠x2，所以x=（10分）

此时y=+(x-x1)=+(-x1)==-p（12分）

由（Ⅰ）知，x1+x2=2pk，所以x==pk∈R，

所以点M的轨迹方程是：y=-p．（14分）

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