热门试卷

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°。

因为AD，CE是角平分线，

所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°。

于是∠EHD=∠AHC=120°。

因为∠EBD+∠EHD=180°，

所以B、D、H、E四点共圆。

（Ⅱ）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°

由（Ⅰ）知B、D、H、E四点共圆，

所以∠CED=∠HBD=30°。

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，

可得∠CEF=30°。

所以CE平分∠DEF。

见解析

（Ⅰ）

（Ⅱ）（，+）

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

所以,

即1＝

因此，椭圆方程为

(Ⅱ)设

(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：

整理得

所以

因为恒有，所以AOB恒为钝角.

即恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，

即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.

当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.

a2<a2b2- b2,a2<( a2-1)b2= b4,

因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2,yA2>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2k2-a2b2=0,

故x1+x2=

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,

得x1x2+ y1y2<0恒成立.

x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2

=(1+k2).

由题意得（a2- a2b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.

①当a2- a2b2+b2>0时，不合题意；

②当a2- a2b2+b2=0时，a=;

③当a2- a2b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,

解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

（1）

（2）

（1）设圆C上任一点M坐标为（，）（如图）。

　　　　在△OCM中，，，，

　　　　根据余弦定理，得

　　　　整理得即为所求。

　　　　（2）设Q（，）则有 ①

　　　　设，则

　　　　又即代入①得

　　　　整理得为点的轨迹方程．

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，有。

化简并整理，得.

∴动点的轨迹的方程是.  …………………………4分

（Ⅱ）依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为.

由方程组  消去，并整理得.

设,,  ，

∴  

∴,    .      ………………8分

①当时，；                 …………………………………………9分

②当时,    .

.   且 .

综合①、②可知，直线的斜率的取值范围是. ……………………12分

或

略