解三角形
共2651题

· 解三角形

解三角形
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题型：简答题

简答题

已知向量m=（cos，）与向量n=（，cos）共线，其中A、B、C是△ABC的内角．

（1）求角B的大小；

（2）求2sin2A+cos（C-A）的取值范围．

正确答案

（1）∵=（cos，）与=（，cos）共线，

∴coscos=．

∴cos=±．

又0＜B＜π，

∴0＜＜，cos=．

∴=，即B=．

（2）由（1）知A+C=，

∴C=-A．

∴2sin2A+cos（C-A）=2sin2A+cos(-2A)=1-cos2A+cos2A+sin2A=1+sin(2A-)．

∵0＜A＜，

∴-＜2A-＜．

∴sin(2A-)∈（-，1）．

∴1+sin(2A-)∈（，2），

即2sin2A+cos（C-A）的取值范围是（，2）．

题型：简答题

简答题

在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，P=（a+c，b），Q=（c-a，b-c），且p⊥q．

（1）求A的大小；

（2）记f(B)=2sin2B+sin(2B+)，求f(B)的值域．

正确答案

（1）由题意知⊥，所以•=（a+c）（c-a）+b（b-c）=0，

即b2+c2-a2=bc．

在△ABC中，由余弦定理，cosA==．

又∵A∈(0，π)，所以A=．

（2）f(B)=2sin2B+sin(2B+)=1-cos2B+(sin2B+cos2B)=sin(2B-)+1．

又△ABC为锐角三角形，

所以B∈(0，)，C=-B∈(0，)，

即＜B＜，所以＜2B-＜，

所以＜sin(2B-)≤1，

故f(B)的值域为(，2]．

题型：简答题

简答题

已知向量=(2cos2x，)，=(1，sin2x)，函数f(x)=•．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．

正确答案

（1）∵函数f（x）=•=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（+2x）+1，

故函数的最小正周期等于=π．

令 2kπ-≤+2x≤2kπ+，k∈z，可得kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，故函数f（x）的单调增区间为[kπ-，2kπ+]，k∈z．

（2）在△ABC中，∵f（C）=3=2sin（+2C）+1，∴sin（+2C）=1，∴C=．

∵c=1，ab=2，且a＞b，再由余弦定理可得 1=a2+b2-2ab•cosC，故 a2+b2=7．

解得 a=2，b=．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=•，其中=(2cosx，sinx)，=(cosx，-2cosx)．

（1）求函数f（x）在区间[0，]上的单调递增区间和值域；

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，f（A）=-1，且b=1△ABC的面积S=，求边a的值．

正确答案

（1）f(x)=2cosx•cosx-2sinx•cosx=1-(sin2x-cos2x)=1-2sin(2x-)（2分）

由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，

又[0，]∴单调增区间为[，]．（4分）

由-≤sin(2x-)≤1∴-1≤f（x）≤2∴f（x）∈[-1，2]（6分）

（2）∵f（A）=-1，∴A=，（8分）

又S=×1×c×sin600=，∴c=4（10分）

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=13a=（12分）

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=2cosx•sin(x-)-]．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c=，角C满足f（C）=0，若sinB=2sinA，求a、b的值．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=2cosx•sin(x-)-=sinxcosx-cos2x-=sin2x-cos2x-1

=sin(2x-)-1

∴f（x）的最小值是-2，最小正周期为T==π；

（Ⅱ）f（C）=sin(2C-)-1=0，则sin(2C-)=1

∵0＜C＜π，∴C=

∵sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a①

∵c=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3②

由①②可得a=1，b=2．

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