- 解三角形
- 共2651题
已知向量m=(cos,
)与向量n=(
,cos
)共线,其中A、B、C是△ABC的内角.
(1)求角B的大小;
(2)求2sin2A+cos(C-A)的取值范围.
正确答案
(1)∵=(cos
,
)与
=(
,cos
)共线,
∴coscos
=
.
∴cos=±
.
又0<B<π,
∴0<<
,cos
=
.
∴=
,即B=
.
(2)由(1)知A+C=,
∴C=-A.
∴2sin2A+cos(C-A)=2sin2A+cos(-2A)=1-cos2A+
cos2A+
sin2A=1+sin(2A-
).
∵0<A<,
∴-<2A-
<
.
∴sin(2A-)∈(-
,1).
∴1+sin(2A-)∈(
,2),
即2sin2A+cos(C-A)的取值范围是(,2).
在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,P=(a+c,b),Q=(c-a,b-c),且p⊥q.
(1)求A的大小;
(2)记f(B)=2sin2B+sin(2B+),求f(B)的值域.
正确答案
(1)由题意知⊥
,所以
•
=(a+c)(c-a)+b(b-c)=0,
即b2+c2-a2=bc.
在△ABC中,由余弦定理,cosA==
.
又∵A∈(0,π),所以A=.
(2)f(B)=2sin2B+sin(2B+)=1-cos2B+(
sin2B+
cos2B)=sin(2B-
)+1.
又△ABC为锐角三角形,
所以B∈(0,),C=
-B∈(0,
),
即<B<
,所以
<2B-
<
,
所以<sin(2B-
)≤1,
故f(B)的值域为(,2].
已知向量=(2cos2x,
),
=(1,sin2x),函数f(x)=
•
.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=3,c=1,ab=2,且a>b,求a,b的值.
正确答案
(1)∵函数f(x)=•
=2cos2x+
sin2x=cos2x+
sin2x+1=2sin(
+2x)+1,
故函数的最小正周期等于=π.
令 2kπ-≤
+2x≤2kπ+
,k∈z,可得kπ-
≤x≤2kπ+
,k∈z,故函数f(x)的单调增区间为[kπ-
,2kπ+
],k∈z.
(2)在△ABC中,∵f(C)=3=2sin(+2C)+1,∴sin(
+2C)=1,∴C=
.
∵c=1,ab=2,且a>b,再由余弦定理可得 1=a2+b2-2ab•cosC,故 a2+b2=7.
解得 a=2,b=.
已知函数f(x)=•
,其中
=(2cosx,
sinx),
=(cosx,-2cosx).
(1)求函数f(x)在区间[0,]上的单调递增区间和值域;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C 的对边,f(A)=-1,且b=1△ABC的面积S=,求边a的值.
正确答案
(1)f(x)=2cosx•cosx-2sinx•cosx=1-(
sin2x-cos2x)=1-2sin(2x-
)(2分)
由2kπ+≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z得kπ+
≤x≤kπ+
π,k∈Z,
又[0,]∴单调增区间为[
,
].(4分)
由-≤sin(2x-
)≤1∴-1≤f(x)≤2∴f(x)∈[-1,2](6分)
(2)∵f(A)=-1,∴A=,(8分)
又S=×1×c×sin600=
,∴c=4(10分)
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=13a=(12分)
已知函数f(x)=2cosx•sin(x-)-
].
(Ⅰ)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c=,角C满足f(C)=0,若sinB=2sinA,求a、b的值.
正确答案
(Ⅰ)f(x)=2cosx•sin(x-)-
=
sinxcosx-cos2x-
=
sin2x-
cos2x-1
=sin(2x-)-1
∴f(x)的最小值是-2,最小正周期为T==π;
(Ⅱ)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-
)=1
∵0<C<π,∴C=
∵sinB=2sinA,∴由正弦定理可得b=2a①
∵c=,∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3②
由①②可得a=1,b=2.
扫码查看完整答案与解析