- 解三角形
- 共2651题
(本题满分14分 )在锐角中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足2sinB(2cos2
-1)=-
cos2B.
(1)求B的大小;
(2)如果,求
的面积
的最大值.
正确答案
(1)B=;(2)△ABC的面积最大值为
。
(1)由2sinB(2cos2-1)=-
cos2B可得2sinBcosB=-
cos2B,从而得tan2B=-
,得2B=
,∴B=
.
(2)由于B=,b=2,所以由余弦定理4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,从而得出ac的最大值为4,故面积最大值确定.
解:(1)2sinB(2cos2-1)=-
cos2BÞ2sinBcosB=-
cos2B Þ tan2B=-
……4分
∵0<2B<π,∴2B=,∴B=
……6分
(2)由tan2B=- Þ B=
∵b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)……10
∵△ABC的面积S△ABC= acsinB=
ac≤
∴△ABC的面积最大值为 ……14
(本小题满分13分)
△ABC的面积,且
(1) 求角的大小;(2)若
且
求
正确答案
(1)(2)
.
(1)由题意知,
所以,,
(2)由及
得
,
,
,
(本小题满分12分)在△ABC中, a, b, c分别为角A, B, C所对的边,
且4sin2-cos2A=.
(1)求角A的度数; (2)若a=
, b+c=3,求b和c的值.
正确答案
解:(1)由题设得2[1-cos(B+C)]-(2cos2A-1)=
,
∵ cos(B+C)=-cosA,∴ 2(1+cosA)-2cos2A+1=,
整理得(2cosA-1)2=0,∴ cosA=,∴ A=60°.
(2)∵ cosA=
=
=
=
∴=
,∴ bc=2. 又∵ b+c=3,∴ b=1, c=2或b=2,
c=1.
略
如图,A、C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度,沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度,沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.
(Ⅰ)求A、C两岛之间的直线距离;
(Ⅱ)求∠BAC的正弦值.
正确答案
(Ⅰ)70海里(Ⅱ)
本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在实际问题中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,利用数学中的工具进行求解,试题的难度一般不大
(1)在△ABC中,由已知,AB=10×5=50,BC=10×3=30,及∠ABC=180°-75°+15°=120可考虑利用据余弦定理求AC
(2)在△ABC中,据正弦定理,得∠BAC的正弦值.
解:(Ⅰ)在△ABC中,由已知,AB=10×5=50,BC=10×3=30,
∠ABC=180°-75°+15°=120°………………………2分
据余弦定理,得,
所以AC=70. ………………5分
故A、C两岛之间的直线距离是70海里.…………6分
(Ⅱ)在△ABC中,据正弦定理,得,………………8分
所以.……………11分
故∠BAC的正弦值是.…………………12分
(本小题满分12分)
如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点,使环城公路在A、B间为直线段,要求AB路段与市中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小.请你确定A、B两点的最佳位置.
正确答案
如图,令|OA|=a,|OB|=b,则在△AOB中,∠AOB=120°. …………2分
∴|OC||AB|=
absin120°.
∴|AB|=. ① …………………………………………………………4分
又由余弦定理,
|② …………………6分
由①②知≥3ab.
∵ab>0,∴ab≥400 ③ ……………………………………………8分
③代入①得|AB|=≥20
.
当a=b时|AB|取得最小值.…………………………………………………10分
而a=b时,△AOB为等腰三角形,
∴∠OAB=∠OBA=30°.
∴a=b=20.
∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处. ………………………12分
略
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