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题型:简答题
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简答题

(本题满分14分 )在锐角中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足2sinB(2cos2-1)=-cos2B.

(1)求B的大小;  

(2)如果,求的面积的最大值.

正确答案

(1)B=;(2)△ABC的面积最大值为

(1)由2sinB(2cos2-1)=-cos2B可得2sinBcosB=-cos2B,从而得tan2B=-,得2B=,∴B=.

(2)由于B=,b=2,所以由余弦定理4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,从而得出ac的最大值为4,故面积最大值确定.

解:(1)2sinB(2cos2-1)=-cos2BÞ2sinBcosB=-cos2B Þ  tan2B=-    ……4分

∵0<2B<π,∴2B=,∴B=  ……6分

(2)由tan2B=- Þ  B=

∵b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)……10        

∵△ABC的面积S△ABC acsinB=ac≤

∴△ABC的面积最大值为   ……14

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分13分)

ABC的面积,且

(1) 求角的大小;(2)若

正确答案

(1)(2).

(1)由题意知,

所以,

 

(2)由

,

,

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)在△ABC中, a, b, c分别为角A, B, C所对的边,

且4sin2-cos2A=

(1)求角A的度数;   (2)若a=, b+c=3,求b和c的值.

正确答案

解:(1)由题设得2[1-cos(B+C)]-(2cos2A-1)=

∵ cos(B+C)=-cosA,∴ 2(1+cosA)-2cos2A+1=

整理得(2cosA-1)2=0,∴ cosA=,∴ A=60°.

2)∵ cosA=

,∴ bc=2. 又∵ b+c=3,∴ b=1, c=2或b=2, c=1.

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题型:简答题
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简答题

如图,A、C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度,沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度,沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.

(Ⅰ)求A、C两岛之间的直线距离;

(Ⅱ)求∠BAC的正弦值.

正确答案

(Ⅰ)70海里(Ⅱ)

本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在实际问题中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,利用数学中的工具进行求解,试题的难度一般不大

(1)在△ABC中,由已知,AB=10×5=50,BC=10×3=30,及∠ABC=180°-75°+15°=120可考虑利用据余弦定理求AC

(2)在△ABC中,据正弦定理,得∠BAC的正弦值.

解:(Ⅰ)在△ABC中,由已知,AB=10×5=50,BC=10×3=30,

∠ABC=180°-75°+15°=120°………………………2分

据余弦定理,得

所以AC=70. ………………5分

故A、C两岛之间的直线距离是70海里.…………6分

(Ⅱ)在△ABC中,据正弦定理,得,………………8分

所以.……………11分

故∠BAC的正弦值是.…………………12分

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题型:填空题
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填空题

(本小题满分12分)

如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点,使环城公路在A、B间为直线段,要求AB路段与市中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小.请你确定A、B两点的最佳位置.

正确答案

如图,令|OA|=a,|OB|=b,则在△AOB中,∠AOB=120°. …………2分

|OC||AB|=absin120°.

∴|AB|=.   ① …………………………………………………………4分

又由余弦定理,

|②     …………………6分

由①②知≥3ab.                               

∵ab>0,∴ab≥400   ③   ……………………………………………8分

③代入①得|AB|=≥20

当a=b时|AB|取得最小值.…………………………………………………10分

而a=b时,△AOB为等腰三角形,

∴∠OAB=∠OBA=30°.

∴a=b=20.

∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处.  ………………………12分

下一知识点 : 面积定理:S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA
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