- 牛顿运动定律
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表演“水流星”节目，如图所示，拴杯子的绳子总长为0.4m，绳子能够承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的5倍，要使绳子不断，节目获得成功，则杯子通过最高点时速度的最小值为______，通过最低点时速度的最大值为______．
正确答案
设杯子通过最高点时速度的最小值为v1，此时由重力提供向心力，则有
mg=m
得 v1=
设杯子通过最低点时速度的最大值为v2．，此时绳子的拉力达到最大值，则有
Tmax-mg=m
由题意，Tmax=5mg
代入解得，v2=2
故答案为：2，4
质量为800kg的小汽车驶过一座半径为10m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度大小为5m/s，则此时小汽车对桥的压力大小为______N；欲使小汽车在通过桥顶时不飞离桥面，则小汽车在桥顶时的速度大小不能超过______m/s（取g=10m/s2）．
正确答案
（1）如图所示，汽车到达桥顶时，竖直方向受到重力G和桥对它的支持力N的作用．汽车对桥顶的压力大小等于桥顶对汽车的支持力N，汽车过桥时做圆周运动，重力和支持力的合力提供向心力，即：F=G-N；
根据向心力公式：F=m
根据牛顿第三定律可知
此时汽车对桥的压力为6000N，方向竖直向下
（2）汽车经过桥顶恰好对桥没有压力，则N=0，即汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，所以有：
F=G=m
故答案为：6000，10
一辆质量为4t的汽车驶过半径为50m的凸形桥面时，始终保持5m/s的速率，汽车所受阻力为车与桥面间压力的0.05倍（g取10m/s2），求通过最高点时汽车对桥面的压力为______，此时汽车的牵引力大小为______．
正确答案
汽车沿凸形桥行驶到最高点时受力如图
要使汽车匀速率通过桥顶，则应有：
mg-FN=m
F=Ff=kFN …②
联立①、②式求解得：
支持力：FN=mg-m
牵引力：F=k（mg-m
由牛顿第三定律得，桥面受到汽车的压力大小FN′=FN=3.8×104N．
故答案为：3.8×104N，1.9×103 N．
如图所示，有一绳长为L，上端固定在滚轮A的轴上，下端挂一质量为m的物体．现滚轮和物体-起以速度v匀速向右运动，当滚轮碰到固定挡板B突然停止的瞬间，绳子拉力的大小为______．
正确答案
当滚轮碰到固定挡板B突然停止的瞬间，由于具有惯性，物体仍然以v运动，将绕A点做圆周运动，根据牛顿第二定律得，T-mg=m
故答案为：mg+m
如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，轻绳长2L，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，两细杆C和D间距离为
正确答案
由于b球摆动过程中机械能守恒，则有
mbg•
解得，v=2
当b球摆过的角度为90°时，a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为mag，
根据牛顿运动定律和向心力公式得
mag-mbg=mb
将v=2
故答案为：2
一辆运货的汽车总质量为3.0×103Kg，这辆汽车以10m/s的速率通过凸圆弧形桥，桥的圆弧半径为50m，则汽车通过桥顶部时，桥面受到汽车的压力大小为______N，如果这辆汽车通过凸形桥顶部时速度达到______m/s，汽车就对桥面无压力（g=10m/s2）．
正确答案
汽车通过凸圆弧形桥顶部时，由汽车的重力和桥面的支持力提供汽车的向心力，根据牛顿第二定律得
mg-FN=m
又由牛顿第三定律得，桥面受到汽车的压力大小FN′=FN=2.4×104N．
当FN=0时，mg=m
故答案为：2.4×104，10
用细绳栓一质量为m的小球，使小球绕绳的另一端在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力，小球过最低点时所受拉力比小球过最高点时所受拉力大小______．
正确答案
如下图所示：在最高点和最低点对小球进行受力分析有：
根据合力提供圆周运动向心力有：
F1+mg=m
F2-mg=m
在竖直面内做圆周运动，不计空气阻力，小球机械能守恒即有：
mg2R=
由①②③式可解得：F2-F1=6mg
故答案为6mg．
如图所示，长为L=4m轻杆可绕其中点O自由转动，初始时质量M=4kg的小物体通过细绳挂在杆的右端，质量m=5kg的小物体通过细绳挂在杆的左端，为使轻杆水平静止，在距左端1m 的P处将其托住，则P点受到轻杆的压力大小为 N；若用水平拉力缓慢将M拉高y，则P处受到的压力 （填“变大”、“变小”或“不变”）．
正确答案
以O为支点，根据力矩平衡条件，有：mg•
拉起y高度后，以M为研究对象，设细绳与竖直方向的夹角为α，细绳拉力大小为T，则由平衡条件得：Tcosα=Mg
以O为支点，设杆长为L，PO间距离为l．根据力矩平衡条件得：mg•
由以上两式得 mg•
由于M、m、L均不变，则得N不变，即P对杆的支持力不变，则P处受到的压力不变．
故答案为：20，不变．
如图 所示，发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为 h1 的圆形近地轨道上，在卫星经过 A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为 A，远地点为 B．在卫星沿椭圆轨道运动到 B 点（远地点 B 在同步轨道上）时再次点火实施变轨进入同步轨道，两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短．
已知同步卫星的运动周期为 T，地球的半径为 R，地球表面重力加速度为 g，
求：（计算结果用题目中给出的物理量的符号来表示）
（1）卫星在近地圆形轨道上运动时的加速度大小
（2）同步卫星轨道距地面的高度．
正确答案
（1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，万有引力常量为G
卫星在近地轨道圆运动，由万有引力和牛顿第二定律，有：G
物体在地球表面受到的万有引力等于重力 G
由 ①②式联立解得 a=（
（2）设同步轨道距地面高度为h2，由万有引力和牛顿第二定律，有：
G
由②③式联立解得：h2=
答：（1）卫星在近地圆形轨道上运动时的加速度大小是（
（2）同步卫星轨道距地面的高度是
我国成功地发射了“嫦娥一号”探月卫星，其轨道示意图如下图所示．卫星进入地球轨道后还需要对卫星进行10次点火控制．第一次点火，抬高近地点，将近地点抬高到约600km，第二、三、四次点火，让卫星不断变轨加速，经过三次累积，卫星加速到11.0km/s的速度进入地月转移轨道向月球飞去．后6次点火的主要作用是修正飞行方向和被月球捕获时的紧急刹车，最终把卫星送入离月面200km高的工作轨道（可视为匀速圆周运动）．已知地球质量是月球质量的81倍，R月=1800km，R地=6400km，卫星质量2350kg，地球表面重力加速度g取10m/s2． （涉及开方可估算，结果保留一位有效数字）求：
（1）卫星在绕地球轨道运行时离地面600km时的加速度．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面200km的工作轨道上外力对它做了多少功？（忽略地球自转及月球绕地球公转的影响）
正确答案
（1）卫星在离地600km处对卫星加速度为a，由牛顿第二定律
G
又因为在地球表面有G
可得a=
（2）卫星离月面200km速度为v，由牛顿第二定律得：
G
由G
又因为地球质量M=81M月
所以G=
代入数据可得 v=
由动能定理，外力对卫星做功
W=
答：（1）卫星在绕地球轨道运行时离地面600km时的加速度8m/s2．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面200km的工作轨道上外力对它做了-1×1011J的功．
飞天同学是一位航天科技爱好者，当他从新闻中得知，中国航天科技集团公司将在2010年底为青少年发射第一颗科学实验卫星--“希望一号”卫星（代号XW-1）时，他立刻从网上搜索有关“希望一号”卫星的信息，其中一份资料中给出该卫星运行周期10.9min．他根据所学知识计算出绕地卫星的周期不可能小于83min，从而断定此数据有误．
已知地球的半径R=6.4×106m，地球表面的重力加速度g=10m/s2．请你通过计算说明为什么发射一颗周期小于83min的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．
正确答案
设地球质量为M，航天器质量为m，航天器绕地球运行的轨道半径为r、周期为T，
根据万有引力定律和牛顿运动定律有
解得T=2π
由上式可知，轨道半径越小，周期越小．因此，卫星贴地飞行（r=R）的周期最小，设为Tmin，
则Tmin=2π
质量为m的物体在地球表面上所受重力近似等于万有引力，即
因此有 GM=gR2
联立解得：Tmin=2π
因绕地球运行的人造地球卫星最小周期为83.7min，所以发射一颗周期为83min的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．
两个靠得很近的天体，离其它天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示．已知双星的质量为m1和m2，它们之间的距离为L．求双星运行轨道半径r1和r2，以及运行的周期T．
正确答案
如图，
设双星中质量为m1的天体轨道半径为r1，质量为m1的天体轨道半径为r2
据万有引力定律和牛顿第二定律，得：
G
G
r1+r2=L③
由①②③联立解得：
r1=
r2=
再由：G
运行的周期T=2πL
答：双星运行轨道半径分别为：r1=
如图所示，火箭栽着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度
（1）到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T0，试问：该行星的平均密度为多少？（假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G）
正确答案
（1）火箭刚起飞时，以测试仪为研究对象，受地球引力mg0、平台的支持力N1，有：
N1-mg0=ma=m×
N1=
根据牛顿第三定律，起飞时测试仪器对平台的压力大小为N′=
设火箭离地高为h时，平台对测试仪器的支持力为N2，则有：N2-
在地面附近，有：G
则：N2=(
R
R+h
)2mg0+
于是得到：h=
（2）设行星质量为M，行星平均密度为ρ，
又有：M=
得：ρ=
答（1）到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T0，则该行星的平均密度为
2003年10月15日9时整，搭载的“神舟”五号载人飞船发射成功，9时42分飞船进入预定轨道，于16日6时23分在内蒙古四子王旗的主着陆场安全着陆，揭开了我国航天史上新的一页．
（1）为了使飞船到达一定速度需要一个加速过程，在加速过程中，宇航员处于超重状态．人们把这种状态下宇航员对座椅的压力FN与静止在地球表面时的重力mg的比值k=FN/mg称为耐受力值．选定两名宇航员，他们在此状态下耐受力最大值分别是k=8和k=7，已知地球表面的重力加速度为g=10m/s2．试求飞船带着这两名宇航员在竖直向上发射时的加速度a的最大值不能超过多少？
（2）“神舟”五号飞船从发射到回收飞行约21h，绕地球14圈．假设把飞船的整个运动过程看作匀速圆周运动，若飞船做圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面处重力加速度为g． 试导出飞船运行线速度的表达式．
正确答案
（1）根据牛顿第二定律，有：
kmg-mg=ma
a=7mg
联立解得：a=60m/s2；
（2）设地球之旅M，飞船质量为m，飞船轨道半径为r，
地球表面上质量为m′的物体所受重力等于地球对它的万有引力，
则m′g=
则GM=gR2，
万有引力为飞船做圆周运动提供向心力，由牛顿第二定律得：
线速度v=
联立解得：v=
答：（1）飞船带着这两名宇航员在竖直向上发射时的加速度a的最大值不能超过60m/s2；
（2）船运行线速度的表达式为
小玉所在的学习小组在研究了“嫦娥一号”相关报道后得知，绕月卫星在完成其绕月的伟大历史使命后，最终将通过撞击月球表面完成最后的多项科学使命，对此同学们做了相关的研究并提出了相应的问题．
（1）“嫦娥一号”探月卫星执行的一项重要任务就是评估月壤中氦-3的分布和储量．两个氘核聚变生成一个氦-3的核反应方程是：2
（2）同学们提出若“嫦娥一号”以速率v竖直撞击月球后，可弹回到距月球表面大约为h的高度，设此过程动能损失了50%，则由此可推算出月球表面的重力加速度g′多大？
（3）设月球半径约为地球半径的1/4，月球的质量约为地球质量的1/81，不考虑月球自转的影响，在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？（地表处的重力加速度g取10m/s2，地球半径R=6400km，计算结果保留两位有效数字）
正确答案
（1）核反应方程是2
（2）设竖直弹回的速度大小为v2，则：
由机械能守恒定律可得：
两式联立解得：g′=
（3）设地球、月球质量分别为M1、M2，地球、月球半径分别为R1、R2，卫星质量为m，在地球、月球上发射卫星的最小速度分别为v1、v2．
在地球表面附近，mg=m
最小发射速度v1=
对地球近地卫星，根据万有引力定律有G
对月球近地卫星，根据万有引力定律有G
解①②两式得v2=
答：（1）
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