- 牛顿运动定律
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如图所示，在平面直角坐标系XOY内，第I象限存在沿Y轴正方向的匀强电场，第IV象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小设为B1（未知），第III象限内也存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场B2（未知）．一质量为m的电子（电量为e，不计重力），从Y轴正半轴上Y=h处的M点，以速度v0垂直于Y轴射入电场，经X轴上X=
（1）求匀强电场的场强大小E；
（2）求粒子经过Q点时速度大小和方向；
（3）求B1与B2之比为多少．
正确答案
（1）电子在电场中做类平抛运动，则
x=v0t=
h=
又由牛顿第二定律得 a=
解得：E=
（2）画出电子在磁场中运动的轨迹图，
vy=at=
∴v=
tanθ=
∴θ=60
∴∠OPO1=30° 又∵OQ=OP
由几何关系得∠OQO1=∠OPO1=30°
∴粒子到达Q点时速度方向与y轴正向成60°
（3）由几何关系得 r1cos30°+r1sin30°=op=
∴r1=(2-
又r1=
由几何关系得：2r2cos30°=OQ=OP=
∴r2=
又r2=
答：
（1）匀强电场的场强大小E是
（2）粒子经过Q点时速度大小为2v0，方向与y轴正向成60°；
（3）B1与B2之比为
“秋千”是小朋友们非常喜爱的一种娱乐项目．质量为25kg的小孩坐在秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁2.5m．如果秋千板摆动经过最低位置时速度是4m/s，这时小孩对秋千板的压力为______N．（g取10m/s2）
正确答案
以小孩为研究对象，根据牛顿第二定律得
FN-mg=m
得到秋千板对小孩的支持力FN=mg+m
由牛顿第三定律得小孩对秋千板的压力大小为410N．
故答案为：小孩对秋千板的压力为410N．
在一根轻质绳的一端拴一质量为1kg的小球，绳的另一端固定在光滑水平面上的O点，小球绕O点做匀速圆周运动的速率为2m/s，轻绳受到的拉力为8N，绳的长度为______m．
正确答案
根据牛顿第二定律得，F=m
解得L=
故答案为：0.5．
如图所示，A、B两个小球用轻质细杆连着，在光滑的水平桌面上以相同的角速度绕轴O做匀速圆周运动．两个小球的质量比mA：mB=1：2，OA：AB=1：1，则球的向心加速度之比aA：aB=______；两段杆OA、AB受的拉力之比为______．
正确答案
A、B两球绕O点在光滑的水平面上以相同的角速度做匀速圆周运动，根据公式an=ω2r，球的向心加速度之比aA：aB=1：2；
对B球有：TAB=2m•2l•ω2．
对A球有：TOA-TAB=mlω2．
联立两式解得：TOA：TAB=5：4；
故答案为：1：2，5：4．
如图，质量为m的小球用细绳悬于O点且在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时速度为v，则此时绳子的张力为______．（绳长为l）
正确答案
根据牛顿第二定律得，mg+T=m
故答案为：m
用长为L的细线系一个质量为m的小球（小球可以视为质点），线的一端固定在空间的O点．先将小球拉至图中的P位置，使OP水平，然后无初速释放小球．当小球绕O点转动150°到达Q位置时，细线碰到了一个固定的细钉子M，此后小球开始绕M做圆周运动．已知OM的长度是
（1）小球到达O点正下方的S点时细线对小球的拉力F1多大？
（2）小球到达Q位置时的速度v1多大？
（3）小球通过最高点N时细线对小球的拉力F2是多大？
正确答案
（1）从P到S的过程根据机械能守恒定律得：
在S点有：
F1-mg=m
解得：F1=3mg
（2）碰到钉子时线速度大小不变，从P到Q运用机械能守恒定律得：
解得：vQ=
（3）根据机械能守恒定律得：
又有：F2+mg=m
联立解得：F2=mg
答：（1）小球到达O点正下方的S点时细线对小球的拉力F1为3mg；
（2）小球到达Q位置时的速度v1为
（3）小球通过最高点N时细线对小球的拉力F2是mg．
质量为800kg的小汽车驶过一座半径为40m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为10m/s，此时汽车对桥的压力为______N，如果汽车以______m/s的速度过桥顶时，汽车对桥的压力为零．
正确答案
（1）如图所示，汽车到达桥顶时，竖直方向受到重力G和桥对它的支持力N的作用．汽车对桥顶的压力大小等于桥顶对汽车的支持力N，汽车过桥时做圆周运动，重力和支持力的合力提供向心力，即：F=G-N；
根据向心力公式：F=m
有：N=G-F=mg-m
根据牛顿第三定律可知
此时汽车对桥的压力为6000N，方向竖直向下
（2）汽车经过桥顶恰好对桥没有压力，则N=0，即汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，所以有：
F=G=m
解得：v=20m/s
故答案为：6000；20
汽车的速度是20m/s，过凸桥最高点时，对桥的压力是车重的一半，则桥面的半径为______m；当车速为______m/s，车对桥面最高点的压力恰好为零．（g=10m/s2）
正确答案
（1）汽车在凸桥最高点时，所受重力和桥面的支持力提供汽车圆周运动的向心力
由此可得：mg-F=m
由牛顿第三定律知F=
（2）当汽车对桥面压力为0时，即mg-F=m
v=
代入g=10m/s2，R=80m，可得v=
故答案为：80，28.2
质量为m的一辆汽车以速率v驶过一座半径为R的凸形桥，重力加速度为g．则汽车过凸形桥的顶端时对桥面的压力为______；若汽车通过凸形桥顶端时对桥面的压力为零，此时汽车的速率为______．
正确答案
对汽车：过凸形桥的顶端时，由牛顿第二定律得
mg-N=m
得 N=mg-m
由牛顿第三定律得汽车对桥面的压力N′=N=mg-m
当汽车通过凸形桥顶端时对桥面的压力为零时，N=0，代入上式得，v=
故答案为：mg-m
质量为3×103kg的汽车，以36km/h的速度通过圆弧半径为50m的凸形桥，到达桥最高点时，桥所受的压力为______N；如果设计为凹桥，半径仍为50m，汽车仍以36km/h的速度通过，则在最低点时，汽车对桥的压力为______N（g=10m/s2）
正确答案
过凸形桥：G-N1=m
得N=G-m
根椐牛顿第三定律，车对桥的压力大小N'=2.4×104N．
过凹形桥时，N-G=m
得N=G+m
故答案为：2.4×104 3.6×104
如图所示，在-个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域I、II中，A2A4与A1A3的夹角为60°．-质量为m、带电量为+q的粒子以某-速度从I区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入II区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，（忽略粒子重力）．
求：（1）画出粒子在磁场I和II中的运动轨迹；．
（2）粒子在磁场I和II中的轨道半径r1和r2比值；
（3）I区和II区中磁感应强度的大小．
正确答案
（1）
设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出，运动轨迹如图所示，
（2）用B1、B2、R1、R2、T1、T2分别表示在磁场Ⅰ区Ⅱ磁感应强度、轨道半径和周期
qvB1=m
qvB2=m
T1=
T2=
设圆形区域的半径为r，如答图5所示，已知带电粒子过圆心且垂直A3A4进入Ⅱ区磁场，连接A1A2，△A1OA2为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径R1=A1A2=OA2=r⑤
圆心角∠A1A2O=60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1=
带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA4的中点，即R=
（3）在Ⅱ区磁场中运动时间为t2=
带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t=t1+t2⑨
由以上各式可得B1=
B2=
故I区磁感应强度为
II区磁感应强度为
答：（1）画出粒子在磁场I和II中的运动轨迹如上图；
（2）粒子在磁场I和II中的轨道半径r1和r2比值为1：2；
（3）I区和II区中磁感应强度的大小分别为
一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V0．则A球在最低点受到的向心力的大小为______，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与V0应满足的关系式是______．
正确答案
A球在最低点受到的向心力的大小为m1
A球运动到最低点时速度为V0，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N1的作用，其合力提供向心力．根据牛顿第二定律，得N1-m1g=m1
这时B球位于最高点，设速度为V1，B球受向下重力m2g和细管弹力N2作用．球作用于细管的力是N1、N2的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N2与N1等值反向，N1=N2 ②，且N2方向一定向下，
对B球：N2+m2g=m2
B球由最高点运动到最低点时速度为V0，此过程中机械能守恒定律，得：
由①②③④式消去N1、N2和V1后得到m1、m2、R与V0满足的关系式是：
（m1-m2）
故答案为：m1
如图所示，半径为R的半球形碗内表面光滑，一质量为m的小球以角速度ω在碗内一水平面做匀速圆周运动，则该平面离碗底的距离h=______．
正确答案
小球靠重力和支持力的合力提供向心力，小球做圆周运动的半径为r=Rsinθ，根据力图可知tanθ=
解得cosθ=
故答案为：R-
如图所示，两根长度不同的细绳，一端固定于O点，另一端各系一个完全相同的小铁球，两小球恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，，AOC=45°，∠BOC=30°，则两球运动的半径之比rA：rB=______；两绳中张力之比FA：FB=______；两球运动的周期之比TA：TB=______．
正确答案
两球运动的半径之比rA：rB=htan45°：htan30°=3：
两绳中张力之比FA：FB=
设细绳与竖直方向的夹角为α
由牛顿第二定律得
mgtanα=m
得到T=2π
所以两球运动的周期之比TA：TB=1：1．
故答案为：3：
各种公路上拱形桥是常见的，一质量为m的汽车在拱形桥上以速度v 前进，桥面的圆弧半径为R，汽车通过桥的最高点时对桥面的压力为______．若R为160m，汽车过桥最高点的安全速度为______ m/s．（ g取10m/s2）
正确答案
（1）汽车通过桥的最高点时受力如图，根据牛顿第二定律得：mg-N=
桥面对汽车的支持力：N=mg-
根据牛顿第三定律，汽车对桥面的压力：N'=N=mg-
（2）若N'=0，汽车对桥面无压力，汽车将腾空从而失控制．所以为安全起见应
N′＞0，即v＜
代入数据得：v＜40 m/s
故答案为：mg-
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