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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知数列中,.

(1)求证:是等比数列,并求的通项公式

(2)数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)由知,

是以为首项,为公比的等比数列,

(2),   

两式相减得

若n为偶数,则

若n为奇数,则

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图象上.

(1)求

(2)求数列的通项公式;

(3)若,求证数列的前项和

正确答案

见解析。

解析

(1)∵点都在函数的图象上,

,∴.

(2)由(1)知,

时,

由(1)知,满足上式,

所以数列的通项公式为.

(3)由(2)得

.

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

正确答案

见解析。

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),

化简得d2﹣4d=0,解得d=0或4,

当d=0时,an=2,

当d=4时,an=2+(n﹣1)•4=4n﹣2。

(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,

当an=4n﹣2时,Sn==2n2

令2n2>60n+800,即n2﹣30n﹣400>0,

解得n>40,或n<﹣10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41,

综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n,

当an=4n﹣2时,存在满足题意的正整数n,最小值为41

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与不等式的综合
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a),这里,x被称为乐观系数。

经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得,最佳乐观系数x的值等于_____________。

正确答案

解析

,而,即

又b>a可得(0<x<1),解得

知识点

等比数列的性质及应用数列与不等式的综合一元二次不等式的解法
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

的图象上。

(1)求数列的通项公式

(2)令证明:

正确答案

见解析。

解析

(1)

;当,适合上式,

(2)证明:由

……12分

成立

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值数列与函数的综合数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列的公差,前项和为

(1)若成等比数列,求

(2)若,求的取值范围。

正确答案

(1)

(2)

解析

本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想。

(1)因为数列的公差,且成等比数列,

所以

,解得

(2)因为数列的公差,且

所以

,解得

知识点

数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

对于,将n表示为,当,当为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,a2,…,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.

(1)b2+b4+b6+b8=__;

(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是___.

正确答案

(1)3;(2)2.

解析

(1)观察知

一次类推

b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2.

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

在数列中,. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为,并称为数列项子列. 例如数列的一个4项子列.

(1)试写出数列的一个3项子列,并使其为等比数列;

(2)如果为数列的一个5项子列,且为等差数列,证明:的公差满足

(3)如果为数列的一个6项子列,且为等比数列,证明:.

正确答案

见解析

解析

(1)解:答案不唯一. 如3项子列:.  ……………… 2分

(2)证明:由题意,知,所以 .…………… 4分

因为 , 所以 ,解得 . 所以.…………… 7分

(3)证明:由题意,设的公比为,则 .

因为的一个6项子列,所以 为正有理数,且.……………… 8分

,且互质,).

时,因为 ,所以

所以 .……………… 10分

时,因为 中的项,且互质,所以

所以

因为 ,所以 .

综上, .……………… 13分

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设等比数列{}的前n项和为Sn,已知

(1)求数列{}的通项公式;

(2)在之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d的等差数列。

(I)在数列{}中是否存在三项(其中m,k,p是等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由;

(II)求证:

正确答案

见解析。

解析

(1)由,

可得:,

两式相减:.

,

因为数列是等比数列,所以,故.

所以  .

(2)由(1)可知

因为:,得.

(Ⅰ)假设在数列中存在三项(其中成等差数列)成等比数列,

则:,即:,

       (*)

因为成等差数列,所以 ,

(*)可以化简为,故,这与题设矛盾.

所以在数列中不存在三项(其中成等差数列)成等比数列.…10分

(Ⅱ)令

,

两式相减:

.

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合
下一知识点 : 等差数列与等比数列的综合
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