数列与不等式的综合
共81题

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
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题型：简答题

简答题 · 13 分

数列的前项和为，且，数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）因为···1

所以时，···2

1、2得

又因为，所以，所以

，所以，所以

（2）

所以对恒成立，即对恒成立

令，

当时，；当时，，所以

所以

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列为等差数列，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）设等差数列的公差为d，

由得所以d=1；…………3分

所以即，…………6分

（2）证明：…………8分

所以 ……12分

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的基本运算数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知数列为等差数列，满足，其前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立。

（1）求数列、的通项公式；

（2）是否存在，使得成立，若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由；

（3）记集合，若中共有5个元素，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）法1：由得

所以，所以

故

因为 ①

对任意的恒成立

则（） ②

①②得

又，也符合上式，所以

所以

法2：由于为等差数列，令，

又，

所以

所以故

因为 ①

对任意的恒成立

则（） ②

①②得

又，也符合上式，所以

所以

（2）假设存在满足条件，则

化简得

由得为奇数，所以为奇数，故

得

故

所以存在满足题设的正整数。

（3）易得，则，

下面考察数列的单调性，

因为

所以时，，又，

因为中的元素个数为5，所以不等式解的个数为5，

故的取值范围是.

知识点

数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”

（1）若函数确定数列的自反数列为，求；

（2）已知正数数列的前项之和，写出表达式，并证明你的结论；

（3）在（1）和（2）的条件下，，当时，设，是数列的前项之和，且恒成立，求的取值范围。

正确答案

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知识点

数列的极限数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

19.已知数列{}中，点P（，）在直线上，数列{}的通项为，前项和为，且是与2的等差中项；

（Ⅰ）求数列{}、{}的通项公式，；

（Ⅱ）设求满足的最小整数.

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合数列与解析几何的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．已知函数满足；且使成立的实数只有一个。

（1）求函数的表达式；

（2）若数列满足，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；

（3）在（2）的条件下，证明：

正确答案

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知识点

函数解析式的求解及常用方法由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．设数列的通项公式为，．数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值

（1）若，求；

（2）若，求数列的前2m项和公式；

（3）若，是否存在q，使得（）？如果存在，求q的取值范围；如果不存在，请说明理由

正确答案

（1）由题意，得

解，得

∴成立的所有n中的最小整数为7，即．

（2）由题意，得，

对于正整数，由，得．

根据的定义可知，

当时，；

当时，．

∴

．

（3）假设存在p和q满足条件，由不等式及得．

∵，根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有

，

即对任意的正整数m都成立

当（或）时，得（或），

这与上述结论矛盾！

当，即时，得，解得．

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范围分别是，

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知识点

由数列的前几项求通项分组转化法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

18.已知数列中，．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，数列的前项和，求证：．

正确答案

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知识点

等差数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．已知为等差数列，且，数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求证：。

正确答案

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

22．若和分别表示数列和前项的和，对任意正整数,，

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和；

（3）设集合，，若等差数列的任一项，是中的最大数，且，求的通项公式。

正确答案

（1）∵，

当时，

作差得：，

又，

所以

（2）

（3）对任意，

，故可得

∵是中最大的数，

∴

设等差数列的公差为，则

∵，得

而是一个以为公差的等差数列，

∴

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

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