数列与不等式的综合
共81题

· 数列与不等式的综合

数列与不等式的综合
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题型：填空题

填空题 · 12 分

等差数列{}中，

（I）求{}的通项公式；

(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

正确答案

(Ⅰ)设数列的公差为d。由题意有，解得，

所以的通项公式为.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，

当n=1,2,3时，；

当n=4,5时，；

当n=6,7,8时，；

当n=9,10时，，

所以数列的前10项和为.

知识点

等差数列的性质及应用其它方法求和数列与不等式的综合数列与其它知识的综合问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) （　　　）

A2018年

B2019年

C2020年

D2021年

正确答案

知识点

等比数列的基本运算数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

19. 已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项.

（I）求数列的通项公式；

（II）设，其前n项和为，若对于恒成立，求实数m的取值范围.

正确答案

（1）；

（2）

解析

试题分析：本题属于数列应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求

（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为

由题意可知：，

∴

所以.得

（Ⅱ）令

相减得

若对于恒成立，即

恒成立，即

令则可知其为减函数，故

考查方向

本题考查了利用等比数列性质及不等式恒成立问题综合应用

解题思路

本题考查数列的性质，解题步骤如下：

1、利用基本量法求出通项；

2、利用错位相减法求和，恒成立问题转为最值问题

易错点

第一问中的辅助角容易计算错误

知识点

由数列的前几项求通项错位相减法求和数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．(本小题满分12分) 已知数列中，，其前项的和为，且满足.

（I）求证：数列是等差数列；

（II）证明：当时，.

正确答案

（1）见解析；（2）见解析。

解析

试题分析：本题属于等差数列以及等差数列的性质，数列的通项公式和前n项和的关系，（1）根据题意直接利用通项公式和前n项和的关系来证明；（2）利用放缩法来证明。

考查方向

本题考查了等差数列以及等差数列的性质，数列的通项公式和前n项和的关系。

解题思路

本题考查等差数列以及等差数列的性质，数列的通项公式和前n项和的关系，解题步骤如下：（1）根据题意直接利用通项公式和前n项和的关系来证明；（2）利用放缩法来证明。

易错点

找不到通项公式和前n项和的关系。

知识点

等差数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

15．等差数列的首项，其前项和为，且．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求满足不等式的的值．

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）设数列的公差为．

因为，所以．

因为，所以，即,

所以．

（Ⅱ）因为，，所以,

所以，所以,

解得，所以的值为．

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式．在近几年的各省高考题出现的频率非常高．

解题思路

（Ⅰ）将通项公式代入，可求得公差d．

（Ⅱ）代入求和公式，解不等式即可．

易错点

移项时注意变号．

知识点

由数列的前几项求通项数列与不等式的综合

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