- 与圆有关的比例线段
- 共748题
如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是AB的中点,过点D作DE^AC
于点E,则DE的长是 .
正确答案
略
选修41:几何证明选讲
如图,设AB为⊙O的任意一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD.
求证:(1) l是⊙O的切线;(2) PB平分∠ABD.
正确答案
(1) 连接OP,∵AC⊥l,BD⊥l,∴AC∥BD.
又OA=OB,PC=PD,∴OP∥BP,从而OP⊥l.
∵P在⊙O上,∴l是⊙O的切线.(6分)
(2) 连接AP,∵l是⊙O的切线,
∴∠BPD=∠BAP.
又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°,
∴∠PBA=∠PBD,即PB平分∠ABD.(10分)
略
(14分)在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.圆O的参数方程为,(为参数,)
(1)求圆心的极坐标;
(2)当为何值时,圆O上的点到直线的最大距离为3.
正确答案
解:(1)圆心坐标为------2分
设圆心的极坐标为
则----4分
所以圆心的极坐标为------ 6分
(2)直线的极坐标方程为
直线的普通方程为----8分
圆上的点到直线的距离……10分
即-----11分
圆上的点到直线的最大距离为-----13分
---- 14分
略
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,的角平分线的延长线交它的外接圆于点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若的面积,求的大小.
正确答案
(Ⅰ)证明见解析
(Ⅱ)90°
本题主要考查平面几何中与圆有关的定理及性质的应用、三角形相似及性质的应用.
证明:(Ⅰ)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以,即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.
则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.
【点评】在圆的有关问题中经常要用到弦切角定理、圆周角定理、相交弦定理等结论,解题时要注意根据已知条件进行灵活的选择,同时三角形相似是证明一些与比例有关问题的的最好的方法.
如图,在四边形ABCD中,,
正确答案
解:在△ABC中,由余弦定理得:
解得BD=16或BD=-6(舍) ————————5分
在△BCD中,由正弦定理得:
解得 BC= ——————————————10分
略
如图所示,已知,在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E,使AE=AD,从AB的中点F作HF⊥EC于H.
(1)求证:FH=FA;
(2)求EH∶HC的值.
正确答案
(1)见解析 (2)1∶4
解:(1)证明:连接EF,FC,在正方形ABCD中,AD=AB=BC,∠A=∠B=90°.
∵AE=AD,F为AB的中点,
∴=.
∴△EAF∽△FBC,
∴∠AEF=∠BFC,∠EFA=∠BCF.
又∠A=∠B=90°,
∴∠EFC=90°,=.
又∵∠EFC=∠B=90°,∴△EFC∽△FBC.
∴∠HEF=∠BFC,∠ECF=∠BCF.
∴∠AEF=∠HEF,∠AFE=∠HFE,又EF=EF,
∴△EAF≌△EHF,∴FH=FA.
(2)由(1)知△EFC是直角三角形,FH是斜边EC上的高,
由射影定理可得EF2=EH·EC,FC2=CH·CE,于是EH∶HC=EF2∶FC2.
由(1)得=,于是EH∶HC=EF2∶FC2=1∶4.
如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为________.
正确答案
如图,由相交弦定理得AF·FB=EF·FC,
∴FC==2,
∵FC∥BD,∴=,BD==.
又由切割线定理知BD2=DC·DA,
又由DA=4CD知4DC2=BD2=,∴DC=.
明确相交弦定理、切割线定理等是解题的关键.
如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE=AC,BD=AB,点F在BC上,且CF=BC.求证:
(1)EF⊥BC;
(2)∠ADE=∠EBC.
正确答案
(1)见解析 (2)见解析
证明:设AB=AC=3a,
则AE=BD=a,CF=a.
(1)==,==.
又∠C为公共角,故△BAC∽△EFC,
由∠BAC=90°.∴∠EFC=90°,∴EF⊥BC.
(2)由(1)得EF=a,
故==,==,
∴=.∵∠DAE=∠BFE=90°,
∴△ADE∽△FBE,∴∠ADE=∠EBC.
如图,AB是⊙O的直径,BE为⊙O的切线,点C为⊙O上不同于A,B的一点,AD为∠BAC的平分线,且分别与BC交于H,与⊙O交于D,与BE交于E,连接BD,CD.
(1)求证:BD平分∠CBE;
(2)求证:AH·BH=AE·HC.
正确答案
(1)见解析(2)见解析
(1)由弦切角定理知∠DBE=∠DAB.
又∠DBC=∠DAC,∠DAB=∠DAC,
所以∠DBE=∠DBC,即BD平分∠CBE.
(2)由(1)可知BE=BH,
所以AH·BH=AH·BE,
因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE,
所以△AHC∽△AEB,
所以,即AH·BE=AE·HC,
即AH·BH=AE·HC.
已知、分别是的外接圆和内切圆;证明:过上的任意一点,都可作一个三角形,使得、分别是的外接圆和内切圆.
正确答案
略
证:如图,设,分别是的外接圆和内切圆半径,延长交于,则,,延长交于;则,即;
过分别作的切线,在上,连,则平分,只要证,也与相切;
设,则是的中点,连,则
,,
,
所以,由于在角的平分线上,因此点是的内心,(这是由于,,而
,所以,点是的内心).即弦与相切.
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