- 与圆有关的比例线段
- 共748题
在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6 cm2，则△ABC的面积为______ cm2.
正确答案
72
如图，作CG⊥AB、FH⊥AB，
∵△AFE∽△CFD，
AE∶EB＝1∶2，
∴
又∵△AHF∽△AGC，∴
∴
∴S△ABC＝72 cm2.
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
正确答案
见解析
连结OD，∵AB、BC分别与圆O相切于点D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.
∵∠A＝∠A，∴Rt△ADO∽Rt△ACB.∴
∵BC＝2OC＝2OD，∴AC＝2AD.
如图，
（1）
（2）
正确答案
见解析
（1）由直线CD与
由AB是
（2）
第一问由切线联想到弦切角定理，进而转化到直角三角形中来解决角相等问题；第二问主要是在直角三角形中由
【考点定位】本题考查平面几何弦切角定理，全等三角形知识以及相似三角形知识，在处理几何量的关系时运用等量代换。。
如图，
正确答案
试题分析：由圆的切割线定理得
（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
如图，⊙O内切△ABC的边于D、E、F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.
⑴证明：圆心O在直线AD上；
⑵证明：点C是线段GD的中点.
正确答案
见解析。
切线PA和PB，切点分别是A和B根据切线的性质和圆周角定理，四边形内角和是360度即可求得劣弧AB的度数．
证明⑴：∵
又∵
又∵△
∴内切圆圆心O在直线AD上. (5分)
⑵连接DF，由⑴知，DH是⊙O的直径，
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的值．
正确答案
2
依题意易知△ABC∽△CDE，所以
如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，求PC和CD的长．
正确答案
2
由切割线定理得PC2＝PB·PA＝12，∴PC＝2
∴∠P＝30°，
∴CD＝
如图所示,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为 .
正确答案
4
如图所示,连接OE,OC.
∵直线l与圆O相切于点C,
∴OC⊥l.
又∵AD⊥l,
∴OC∥AD,
∴∠DAB=∠COB.
又圆O的直径AB=8,BC=4,
∴△COB为等边三角形,
∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,
∴△AEO也为等边三角形,
∴AE=OA=4.
如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.
求证：AB2＝4AP·BQ.
正确答案
见解析
证明 法一 连接OP、OQ，如图所示．
∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又AP、BQ为⊙O的切线，
AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.
∴AP∥BQ.
∴∠A＝∠B＝90°，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.
∴△AOP∽△BQO.
∴
∵AB＝2AO＝2OB，∴AB2＝4AP·BQ.
法二 连接OC.
同上可证得∠2＋∠3＝90°.
∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.
在Rt△PQO中，由射影定理可得OC2＝PC·CQ，
利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.
OC2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB2＝4AP·BQ.
法三 如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.
∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，
∴∠A＝∠B＝90°，
AP＝PC，CQ＝BQ.
∴四边形ABDP为矩形，
PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ2＝PD2＋QD2，
∴(AP＋BQ)2＝AB2＋(BQ－AP)2.
∴4AP·BQ＝AB2.
如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若
正确答案
由题意可知△PBC∽△PDA，于是由
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