裂项相消法求和
共41题

· 裂项相消法求和

裂项相消法求和
共41题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

17. 在等差数列中，，数列的前n项和.

（Ⅰ）求数列，的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前n项和．

正确答案

见解析

解析

解：

经验证首项不成立

（2）当时，

验证：时成立

考查方向

主要考察了等差数列的性质及应用，考察了sn与an之间的关系，考察了裂项相消法求和

解题思路

第一步：通过等差数列的性质求出，由Sn与an的关系求出

第二步：根据bn的通项公式可知，当时，

第三步：使用裂项相消的方法得到

易错点

该题在求bn过程中忽略了首项不成立，第二问求Tn的过程中忽略从第二项起，且使用分组的形式书写答案

教师点评

该题主要考察了讨论首项的数列，解题过程中要注意利用前n项和求通项一定要验证首项。

其次，分段数列在求前n项和的时候不需要把n=1独立出来

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知是公比不等于1的等比数列，为数列的前项和，且

19.求数列的通项公式；

20.设，若，求数列的前项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=3或

解析

(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，

当时，符合条件，，an=3

当时，所以，解得 ----5分

综上：an=3或

考查方向

本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用．

解题思路

设数列{an}的公比为q，根据公比和进行求解，当时，根据，解出首项和公比，进而求出通项公式.

易错点

容易忽略对这种情况.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；

，

考查方向

本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用．

解题思路

化简，从而可得,从而得证．

易错点

对于这种通项公式，求和一般用裂项法，要熟练掌握这种类型题的方法.

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知是公比不等于1的等比数列，为数列的前项和，且

19.求数列的通项公式；

20.设，若，求数列的前项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=3或

解析

(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，

当时，符合条件，，an=3

当时，所以，解得 ----5分

综上：an=3或

考查方向

本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用．

解题思路

设数列{an}的公比为q，根据公比和进行求解，当时，根据，解出首项和公比，进而求出通项公式.

易错点

容易忽略对这种情况.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；

，

考查方向

本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用．

解题思路

化简，从而可得,从而得证．

易错点

对于这种通项公式，求和一般用裂项法，要熟练掌握这种类型题的方法.

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知在递增等差数列中，，是和的等比中项.

21.求数列的通项公式；

22.若，为数列的前项和，当对于任意的恒成立时，求实数的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由为等差数列，设公差为，则，是和的等比中项，即，解得(舍)或，

考查方向

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

解题思路

利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.

易错点

等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

因为对于任意的恒成立，

考查方向

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

解题思路

存在.由于，利用“裂项求和”方法即可得出.

易错点

裂项相消的时候易出现多项或少项的情况.

棒棒哒，已学完当前知识点学习下一知识点

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