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题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知a,b是不相等的正数,在a,b之间分别插入m个正数a1,a2,…,am和正数b1,b2,…,

bm,使a,a1,a2,…,am,b是等差数列,a,b1,b2,…,bm,b是等比数列。

(1)若m=5,,求的值;

(2)若b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在n (n∈N*,6≤n≤m)使得an-5=bn,求λ的最小值及此时m的值;

(3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m)。

正确答案

见解析。

解析

(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,

则d=,q=

a3=a+3d=,b3=aq3,                  

因为,所以,解得,  

(2)因为λa=a+(m+1)d,所以,从而得

因为λa=a×qm+1,所以,从而得

因为an-5=bn,所以

因为a>0,所以1+(*),     

因为λ,m,n∈N*,所以1+为有理数。

要使(*)成立,则必须为有理数。

因为n≤m,所以n<m+1。

若λ=2,则为无理数,不满足条件。

同理,λ=3不满足条件,                         

当λ=4时,,要使为有理数,则必须为整数。

又因为n≤m,所以仅有2n=m+1满足条件。

所以,从而解得n=15,m=29。

综上,λ最小值为4,此时m为29.            

(3)证法一:设cn>0,Sn为数列{cn}的前n项的和。

先证:若{cn}为递增数列,则为递增数列。

证明:当n∈N*时,

因为,所以,即数列为递增数列,

同理可证,若{cn}为递减数列,则{}为递减数列。   

1 当b>a时,q>1.当n∈N*,n≤m时,

,即

因为b=aqm+1,bn=aqn

所以,即a+nd>bn,即an>bn

2 当b<a时,0<q<1,当n∈N*,n≤m时,<。

因为0<q<1,所以,以下同①。

综上, an>bn(n∈N*,n≤m),                  

证法二:设等差数列a,a1,a2,…,am,b的公差为d,等比数列a,b1,b2,…,bm,b的公比为q,

b=λa(λ>0,λ≠1)。

由题意,得d=a,

所以an=a+nd=a+an,

要证an>bn(n∈N*,n≤m),

只要证

构造函数(λ>0,λ≠1,0<x<m+1),

则f′(x)=-,令f′(x)=0,解得x0=(m+1)logλ

以下证明0<logλ<1。

不妨设λ>1,即证明1<<λ,即证明lnλ-λ+1<0,λlnλ-λ+1>0。

设g(λ)=lnλ-λ+1,h(λ)=λlnλ-λ+1(λ>1),则,h′(λ)=lnλ>0,

所以函数g(λ)=lnλ-λ+1(λ>1)为减函数,函数h(λ)=λlnλ-λ+1(λ>1)为增函数。

所以g(λ)<g(1)=0,h(λ)>h(1)=0。

所以1<<λ,从而0<log<1,所以0<x0<m+1.

因为在(0,x0)上f′(x)>0,函数f(x)在(0,x0)上是增函数;

因为在(x0,m+1)上f′(x)<0,函数f(x)在(x0,m+1)上是减函数。

所以f(x)>min{f(0),f(m+1)}=0。

所以an>bn(n∈N*,n≤m)。

同理,当0<λ<1时,an>bn(n∈N*,n≤m)。

知识点

平面直角坐标轴中的伸缩变换
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

在极坐标系中,定点,点在直线上运动,当线段

短时,点的极坐标为       ,

正确答案

解析

知识点

平面直角坐标轴中的伸缩变换
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