热门试卷

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则d＝，q＝。

a3＝a＋3d＝，b3＝aq3＝，                  

因为，所以，解得或，  

（2）因为λa＝a＋(m＋1)d，所以，从而得。

因为λa＝a×qm＋1，所以，从而得。

因为an－5＝bn，所以。

因为a＞0，所以1＋＝（*），     

因为λ，m，n∈N*，所以1＋为有理数。

要使（*）成立，则必须为有理数。

因为n≤m，所以n＜m＋1。

若λ＝2，则为无理数，不满足条件。

同理，λ＝3不满足条件，                         

当λ＝4时，，要使为有理数，则必须为整数。

又因为n≤m，所以仅有2n＝m＋1满足条件。

所以，从而解得n＝15，m＝29。

综上，λ最小值为4，此时m为29.            

（3）证法一：设cn＞0，Sn为数列{cn}的前n项的和。

先证：若{cn}为递增数列，则为递增数列。

证明：当n∈N*时，，

因为，所以，即数列为递增数列，

同理可证，若{cn}为递减数列，则{}为递减数列。   

1 当b＞a时，q＞1.当n∈N*，n≤m时，。

即，即，

因为b＝aqm＋1，bn＝aqn，，

所以，即a＋nd＞bn，即an＞bn，

2 当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，＜。

即。

因为0＜q＜1，所以，以下同①。

综上， an＞bn(n∈N*，n≤m)，                  

证法二：设等差数列a，a1，a2，…，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，…，bm，b的公比为q，

b＝λa(λ＞0，λ≠1)。

由题意，得d＝a，，

所以an＝a＋nd＝a＋an，。

要证an＞bn(n∈N*，n≤m)，

只要证

构造函数(λ＞0，λ≠1，0＜x＜m＋1)，

则f′(x)＝－，令f′(x)＝0，解得x0＝(m＋1)logλ。

以下证明0＜logλ＜1。

不妨设λ＞1，即证明1＜＜λ，即证明lnλ－λ＋1＜0，λlnλ－λ＋1＞0。

设g(λ)＝lnλ－λ＋1，h(λ)＝λlnλ－λ＋1(λ＞1)，则，h′(λ)＝lnλ＞0，

所以函数g(λ)＝lnλ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h(λ)＝λlnλ－λ＋1(λ＞1)为增函数。

所以g(λ)＜g(1)＝0，h(λ)＞h(1)＝0。

所以1＜＜λ，从而0＜log＜1，所以0＜x0＜m＋1.

因为在(0，x0)上f′(x)＞0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；

因为在(x0，m＋1)上f′(x)＜0，函数f(x)在(x0，m＋1)上是减函数。

所以f(x)＞min{f(0)，f(m＋1)}＝0。

所以an＞bn(n∈N*，n≤m)。

同理，当0＜λ＜1时，an＞bn(n∈N*，n≤m)。