平面向量数量积的运算
共232题

· 平面向量数量积的运算

平面向量数量积的运算
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题型：单选题

单选题 · 5 分

11.已知 ,为两个平面向量，若，与的夹角为，则与的夹角为（）

C或

D或

正确答案

解析

【解析】由与的夹角为可得，设则与的夹角为，则cos=，所以选C.

考查方向

向量的运算。

解题思路

可以将其中一个向量的模设出来，其他的用所设的表示出来，最后利用向量的数量积定义的变形式即可解出来。

易错点

不会利用数量积来求解。

知识点

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.在正方形中，,分别是边上的动点，且，则的取值范围为。

正确答案

[4,8-2]

解析

设CN=x,CM=y,，由求数量积的最大值，最小值

因为，，=2(2-y),=2(2-x,)， ⊥，=0，又因为 CD⊥CM，MN=，.由，设x=, y=,(为参数，)，=8-)，[4,8-2]

考查方向

向量的垂直，共线，数量积的运算问题

解题思路

画出正方形，设CN=x,CM=y,将表示为x，y的代数式，并进一步的利用题中的共线与垂直关系，得到F(x,y),再利用三角函数的性质求取值范围.

易错点

处理变量之间的整体关系及转化

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．点在的边所在直线上，且满足（），则在平面直角坐标系中，动点的轨迹的普通方程为．

正确答案

解析

三点共线

设，则，得到，则，即

考查方向

本题考查了向量共线定理的应用，轨迹方程的求法.

解题思路

根据三点共线定理，得到之间的关系；设出点坐标，通过的关系从而得出之间的关系，即为的轨迹方程.

易错点

三点共线定理的运用；根据的关系得到点的横纵坐标的关系.

知识点

平面向量数量积的运算用其它方法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若.则AD的长为 ▲ .

正确答案

解析

设

如图

考查方向

本题考察向量的平行四边形法则，考察了向量的三角形法则，考察了向量的数量积运算，属于中档题

解题思路

本题的解题思路

1）构造基底并设

2）使用三角形法则和平行四边形法则求出

3）根据数量积运算得出结果

易错点

本题易于错在数量积运算错误

知识点

三角函数的恒等变换及化简求值向量的三角形法则平面向量数量积的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．对于两个平面向量，定义它们的一种运算：（其中为向量的夹角），则关于这种运算的以下结论中，不恒成立的是（　　）

B若，则

D若，则

正确答案

解析

因为，所以，选项A恒成立．当，时，，所以或，所以；当或时，恒成立，选项B恒成立．

，选项D恒成立．当时，，选项C不恒成立．故选C

考查方向

本题主要考查新定义、向量的数量积等知识，意在考查考生对于向量知识的理解和对于新定义的理解能力．

解题思路

.根据题中给出的运算公式分别带入选项逐个判断正误。

易错点

1.不会利用题中给出的新定义；2.对于新定义和我们学过的知识如何如何结合存在障碍。

知识点

平面向量数量积的运算平面向量的综合题

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.在正方形中，,分别是边上的动点，且，则的取值范围为。

正确答案

[4,8-2]

解析

设CN=x,CM=y,，由求数量积的最大值，最小值

因为，，=2(2-y),=2(2-x,)， ⊥，=0，又因为 CD⊥CM，MN=，.由，设x=, y=,(为参数，)，=8-)，[4,8-2]

考查方向

向量的垂直，共线，数量积的运算问题

解题思路

画出正方形，设CN=x,CM=y,将表示为x，y的代数式，并进一步的利用题中的共线与垂直关系，得到F(x,y),再利用三角函数的性质求取值范围.

易错点

处理变量之间的整体关系及转化

知识点

平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知向量当时，有函数

17.若求的值；

18.在中，角的对边分别是，且满足求函数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

得

即因为所以.所以

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

先通过向量垂直，得到三角关系,利用辅助角公式得到三角函数的解析式y=sin(x-) +，=，再利用二倍角公式进行合理转化。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(0,)

解析

由得.根据正弦定理可得：

∴， ∴在中 ∠ . ∴,

, .故函数的取值范围为.

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

将边用正弦定理进行转化，得到cosA=,所以A=,求出(B-)的取值范围，进而求出f(B)的范围。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.在正方形中，,分别是边上的动点，且，则的取值范围为。

正确答案

[4,8-2]

解析

设CN=x,CM=y,，由求数量积的最大值，最小值

因为，，=2(2-y),=2(2-x,)， ⊥，=0，又因为 CD⊥CM，MN=，.由，设x=, y=,(为参数，)，=8-)，[4,8-2]

考查方向

向量的垂直，共线，数量积的运算问题

解题思路

画出正方形，设CN=x,CM=y,将表示为x，y的代数式，并进一步的利用题中的共线与垂直关系，得到F(x,y),再利用三角函数的性质求取值范围.

易错点

处理变量之间的整体关系及转化

知识点

向量的几何表示平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知向量当时，有函数

17.若求的值；

18.在中，角的对边分别是，且满足求函数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

得

即因为所以.所以

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

先通过向量垂直，得到三角关系,利用辅助角公式得到三角函数的解析式y=sin(x-) +，=，再利用二倍角公式进行合理转化。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(0,)

解析

由得.根据正弦定理可得：

∴， ∴在中 ∠ . ∴,

, .故函数的取值范围为.

考查方向

向量的坐标运算，三角函数的重要性质，三角恒等变换公式，解三角形。

解题思路

将边用正弦定理进行转化，得到cosA=,所以A=,求出(B-)的取值范围，进而求出f(B)的范围。

易错点

向量的坐标运算，三角函数的恒等变换

题型：填空题

填空题 · 5 分

6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为　　．

正确答案

﹣3

解析

向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）

可得，解得m=2，n=5，

∴m﹣n=﹣3．

故答案为：﹣3

考查方向

本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．

解题思路

直接利用向量的坐标运算，求解即可.

易错点

本题考查向量的坐标运算，在线性计算过程易错.

知识点

平面向量数量积的运算

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