- 基本不等式的实际应用
- 共15题
世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形
（1）试用
（2）设矩形
正确答案
（1）
解析
解析：（1）在
所以
矩形
于是
（2） 矩形
又
即草坪造价
由总造价
所以
当且仅当
此时
所以选取
知识点
如图，在
（1）当棱锥
（2）若点P为AB的中点，E为
正确答案
见解析
解析
（1）设
，则
令
则
由上表易知：当
证明：
（2）
作
由已知得：
所以
知识点
已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞
正确答案
见解析
解析
解析：（1）f′(x)＝lnx＋1，
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，
f′(x)＞0，f(x)单调递增。
（2）2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，
设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝，
①当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4.
（3）证明：问题等价于证明xlnx＞
由（1）可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是
知识点
若实数
正确答案
解析
略
知识点
在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 （） (m)。
正确答案
20
解析
利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得:
知识点
若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sinC的最大值为 。
正确答案
解析
设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且
以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系
设AB=2，则A（﹣1，0），B（1，0），
设C（x，y），可得G（
∵AG⊥BG，∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）
由此可得（
因此，点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）
在点C的运动中观察∠C的变化，可得当C点在y轴时，∠C达到最大值
而且sinC同时达到最大值。
此时tan
故选：
知识点
某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S。
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？
正确答案
见解析。
解析
（1）在△BCD中，∵
∴
则
（2）
令S'=0，得
当
当
∴当
此时，
知识点
一直两个非零向量
正确答案
解析
略
知识点
某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计成 米。
正确答案
答案：100
解析
略
知识点
若两个正实数
A
B
C(-2,4)
D(-4,2)
正确答案
解析
知识点
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