二次函数与幂函数
共1316题

二次函数与幂函数
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知f(x)=xlnx，.

(1)当a=2时，求函数y=g(x)在[0，3]上的值域；

(2)求函数f(x)在[t，t+2](t>0)上的最小值；

(3)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有成立

正确答案

见解析。

解析

(1)，x∈[0,3]

当x=1时，gmin(x)=g(1)=；当x=3时，

故g(x)值域为

(2) f'(x)=lnx+l,当f'(x)<0，f(x)单调递减，当，f'(x)>0，f(x)单调递增.

①，t无解；

②，即时，

③,即时，f(x)在[t,t+2]上单调递增，f(x)min=f(t)=tlnt；

所以

(3)g'(x)+1=x，所以问题等价于证明，由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0，+∞))的最小值是，当且仅当时取到；

设，则，易得，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈(0，+∞)，都有成立。

知识点

二次函数在闭区间上的最值利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 5 分

已知，函数,。

（1）求在上的单调区间；

（2）当时，求在上的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）， ……………1分

当时，，在上递增； ……………2分

当时，在上递增，在上递减；……………3分

当时，，在上递减， ……………4分

(2) 当时，在上递增，在上递减。

，

,，………6分

①时，,,。

而，，，。

显然，，所以只需比较与的大小。

。在上单调递增，而。

时，，， ………9分

②时，,,.

, ………12分

综上所述， ………13分

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，，，则a，b，c的大小关系是

Ac＜b＜a

Ba＜c＜b

Ca＜b＜c

Db＜c＜a

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

若x≥0，y≥0，且，则的最小值是。

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数 M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函，给出下面三个函数：①f（x）=1；②f（x）=x2；③，其中属于有界泛函的是（　　）

A①

B②

C③

D①②③

正确答案

解析

①对于f（x）=1，当x=0时，有|f（x）|=1＞M×0=0，故f（x）=1不属于有界泛函；

②对于f（x）=x2，当x≠0时，有无最大值，f（x）=x2不属于有界泛函；

③对于f（x）=，当x≠0时，有=，当x=0时，|f（x）|=，

故f（x）=属于有界泛函；

故选C。

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

若，，，则下列结论正确的是（）

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的值域是（）

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数的导函数为，且满足则= .

正确答案

-30

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的定义域是。

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

若等差数列满足，，则的值是（）

A20

B36

C24

D72

正确答案

解析

本题考查了等差数列的性质，因，得，，得，则，，则

知识点

二次函数在闭区间上的最值

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