圆的标准方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知点P是圆F1：上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意得，

圆的半径为4，且

从而

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,其中长轴,焦距，

则短半轴，

椭圆方程为:

（2）

设，则。

∵，∴，∴

∴点在以为圆心，2为半径的的圆上，即点在以为直径的圆上。

又，∴直线的方程为。

令，得。

又，为的中点，∴。

∴，。

∴

。

∴，∴直线与圆相切.

知识点

圆的标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 14 分

如图7，已知点，是点A关于直线的对称点，P为轴上的动点。

（1）求的最小值；

（2）已知抛物线C的顶点为原点O，焦点在轴，且过点B，⊙M的圆心M在抛物线C上运动，且过点A'，D，E为⊙M与y轴的两个交点，试探究三角形A'DE的面积是否随圆心M的变化而变化？若没有变化，求出三角形A'DE的面积。

正确答案

见解析。

解析

（1）设点关于x轴的对称点为A1，

则A1的坐标为

于是

当且仅当A、P、B三点共线是取等号，

这时|PA|+|PB|取得最小值

（2）解法一：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

过点M作y轴的垂线，垂足为G，则点G平分DE，

设圆心为M(m，n)，

则

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法二：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

∵点在抛物线上，

设

则

，即

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化；

解法三：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

∵点在抛物线上，

，设

由求根公式得

即

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法四：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

设

则，

又∵点在抛物线上，

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，又∵点A'到y轴的距离不变，

∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

知识点

圆的标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是

A＝1

B＝1　　　

C

D＝1

正确答案

B

解析

略

知识点

圆的标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是

A＝1

B＝1　　

C

D＝1

正确答案

B

解析

略

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

给定椭圆：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”，已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为。

（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；

（2）过椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求的方程；

（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围。

正确答案

（1）（2）（3）

解析

（1）由题意知，且，可得，

故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为。 ………………4分

（2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C只有一个交点，

则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 ………………6分

，即，

由，解得， ………………8分

所以直线的方程为，的方程为，

或直线的方程为，的方程为，　　　　　　 ………………10分xx§k.Com]

（3）由题意，可设，则有，

又A点坐标为，故， ………………12分

故

, …………………………14分

又，故，

所以的取值范围是。

知识点

圆的标准方程

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，是⊙的切线，为切点，直线交⊙于、两点，交弦于点，且，，，，则。

正确答案

解析

略

知识点

圆的标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设圆心为（a，1），由已知得，∴。

故选B

知识点

圆的标准方程

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

在极坐标系中，圆＝2上的点到直线＝3的距离的最小值是＿＿＿＿

正确答案

1

解析

略

知识点

圆的标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图5，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任一点，从P引两圆的切线PC、PD，若PC=2cm，则PD= ▲ cm.

正确答案

2

解析

：由切割线定理可得，，∴，

即

知识点

圆的标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数,其中

（1）求曲线在处的切线方程;

（2）设函数，求的单调区间.

正确答案

见解析

解析

（1）当时，，

，

所求切线方程为__________5分

（2）

，__________6分

根，（）__________8分

当，即时，

在上，在上

在上单调递增，在上单调递减；__________10分

当，即时，

在上，在上

在上单调递增，在上单调递减. __________14分

知识点

圆的标准方程

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