热门试卷

(1)

如图所示，因AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB。

又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以异面直线CC1和AB的距离为.

(2)解法一：由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥面A1ABB1，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1－CD－B1的平面角。

因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A。因此，得.

从而，B1D＝A1D＝，

所以在△A1DB1中，由余弦定理得

.

(2)解法二：

如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.

设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0,h)，B1(2,0,h)，C(0,,0)，从而＝(4,0,h)，＝(2,,－h)。

由⊥得·＝0，即8－h2＝0，因此.

故＝(－2,0,)，＝(2,0,)，＝(0,,0)。

设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥，m⊥，即

取z1＝1，得m＝(,0,1)。

设平面B1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n⊥，n⊥，即

取z2＝－1，得n＝(，0，－1)。

所以cos〈m，n〉＝.

所以二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值为