热门试卷

原式=2-2++log24=

（Ⅰ）∵函数f(x)=loga（a＞0，且a≠1），可得＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，

故函数f（x）的定义域为（-1，1）．

（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=loga=-loga=-f（x），

故函数f（x）为奇函数．

（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，当a＞1时，＞1，即  ＜0，解得0＜x＜1．

当1＞a＞0时，0＜＜1，即  ，即 ，解得-1＜x＜0．

综上可得，当a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x＜1}； 当1＞a＞0时，不等式的解集为{x|-1＜x＜0}．

（1）证明：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），

log2（m+1）=log2（n+1），①

或log2（m+1）=log2．②

由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去．

由②得m+1=，即（m+1）（n+1）=1．③

∴m+1＜1＜n+1．∴m＜0＜n．∴mn＜0．

由③得mn+m+n=0，m+n=-mn＞0．

（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数．

由（1）知m2-（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0．

∴m2-（m+n）＜0，0＜m2＜m+n．

∴f（m2）＜f（m+n）．

同理，（m+n）-n2=-mn-n2=-n（m+n）＜0，

∴0＜m+n＜n2．∴f（m+n）＜f（n2）．

∴f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）．

（1）a=3，log2（|x|+|x-4|）＞3⇒

log2（|x|+|x-4|）＞log28

∴|x|+|x-4|＞8（1分）

当x≥4x+x-4＞8得：x＞6（3分）

当0＜x＜4x+4-x＞8不成立（5分）

当x≤0-x+4-x＞8得：x＜-2（7分）

∴不等式解集为x|x＜-2或x＞6（8分）

（2）|x|+|x-4|≥|x+4-x|=4（10分）

∴log2（|x|+|x-4|）≥log24=2（11分）

∴若原不等式解集为R，则a＜2（12分）