直线的参数方程
共320题

· 直线的参数方程

直线的参数方程
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题型：简答题

简答题

已知圆C的方程x2+y2-2ax+（2-4a）y+4a-4=0（a∈R）．

（1）证明对任意实数a，圆C必过定点；

（2）求圆心C的轨迹方程；

（3）对a∈R，求面积最小的圆C的方程．

正确答案

（1）证明：分离参数a，化为x2+y2+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，

又，得或，∴对任何实数a，圆C必过点A（2，0）、B(-，)．

（2）∵D2+E2-4F=4（5a2-8a+5）＞0恒成立，设C的坐标为（x，y），

则圆心C的方程为，消去a，得 2x-y-1=0，∴圆心C的轨迹方程为 2x-y-1=0．

（3）面积最小的圆就是以AB为一条直径的圆，方程是(x-)2+(y-)2=．

题型：简答题

简答题

（1）选修4-2矩阵与变换：

已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．

①求实数a的值；

②求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

（2）选修4-4参数方程与极坐标：

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若l与C相交于AB两点，且AB=．

①求圆的普通方程，并求出圆心与半径；

②求实数m的值．

正确答案

（1）①∵点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．

∴=，∴2-2a=-4，∴a=3．（3分）

②由①知M=，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=||=λ2-3λ-4（5分）

令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．（6分）

当λ=-1时，∵，∴x+y=0

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为；（8分）

当λ=4时，∵，∴2x-3y=0

∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．（10分）

（2）①曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，圆心坐标为（2，0），半径R=2．

②直线l的普通方程为y=x-m，则圆心到直线l的距离d==

所以=，可得|m-2|=1，解得m=1或m=3．

题型：填空题

填空题

设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为______．

正确答案

解析：由题直线l1的普通方程为3x-y-2=0，

故它与与l2的距离为=．

故答案为

题型：简答题

简答题

已知圆方程x2+y2-2ax-4ay+5a2-4=0（a∈R）．

（1）求圆的半径，圆心坐标并求出圆心坐标所满足的直线方程；

（2）试问：是否存在直线l，使对任意a∈R，直线l被圆截得的弦长均为2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）根据题意可得圆的方程为（x-a）2+（y-2a）2=4，

所以半径为2，圆心坐标为（a，2a），

所以圆心坐标满足的直线方程为y=2x．

（2）因为圆心在直线y=2x上，并且对任意a∈R，直线l被圆截得的弦长均为2，

所以所求直线必须平行于直线y=2x，

所以设所求直线的方程为y=2x+b，

因为该直线被圆截得的弦长均为2，并且半弦长、半径与弦心距的关系为(

)2+d2=r2，

所以d=，

所以圆心（a，2a）到该直线的距离为，则=，

解的b=±，

所以直线方程为y=2x±．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

正确答案

（1）直线l的参数方程为，即．…（5分）

（2）圆C的参数方程化为普通方程为x2+y2=4，把直线

代入 x2+y2=4，可得 (1+

t)2+(1+

t)2= 4，∴t2+ (+1)t -2 = 0，t1•t2=-2，

则点P到A，B 两点的距离之积为2． …（10分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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