- 直线的参数方程
- 共320题
过点P(2,3)作直线l分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A(a,0),B(0,b)两点
(1)求|PA|+|PB|的最小值.
(2)当△AOB(O为原点)的面积S最小时,求直线l的方程,并求出S的最小值.
(3)当|PA|•|PB|取得最小值时,求直线ℓ的方程.(提示:设∠OAB=θ,以θ为参变量求解,x+y-5=0)
正确答案
解:(1)∵过A、B两点的直线方程为+
=1(a>0,b>0);
且点P在直线AB上,∴+
=1;
∴|PA|+|PB|=≥
,
当且仅当a=b时,此时+
=1,
∴a=b=5时,取“=”;
∴|PA|+|PB|的最小值是5;
(2)△AOB的面积为S=ab,
∵+
=1,
∴2≤
+
=1,
∴ab≥24,当且仅当=
,
即a=4、b=6时取“=”;
∴a=4,b=6时,△AOB的面积取得最小值S=12;
(3)设ℓ:+
=1(a>0、b>0),∠BAO=θ,如图所示;
则|PA|=,|PB|=
,
sinθ=;
∴|PA|•|PB|==3(b-3)[
+1];
又P(2,3)在ℓ上,∴+
=1;
∴=
,
∴|PA|•|PB|=3(-3)[
+1]=3×
×[
+1];
设a-2=t(t>0),则|PA|•|PB|=(
+1)=2(t+
)≥12,
当且仅当t=,即t=3时“=”成立,这时a=b=5;
∴直线ℓ的方程为:x+y-5=0.
解析
解:(1)∵过A、B两点的直线方程为+
=1(a>0,b>0);
且点P在直线AB上,∴+
=1;
∴|PA|+|PB|=≥
,
当且仅当a=b时,此时+
=1,
∴a=b=5时,取“=”;
∴|PA|+|PB|的最小值是5;
(2)△AOB的面积为S=ab,
∵+
=1,
∴2≤
+
=1,
∴ab≥24,当且仅当=
,
即a=4、b=6时取“=”;
∴a=4,b=6时,△AOB的面积取得最小值S=12;
(3)设ℓ:+
=1(a>0、b>0),∠BAO=θ,如图所示;
则|PA|=,|PB|=
,
sinθ=;
∴|PA|•|PB|==3(b-3)[
+1];
又P(2,3)在ℓ上,∴+
=1;
∴=
,
∴|PA|•|PB|=3(-3)[
+1]=3×
×[
+1];
设a-2=t(t>0),则|PA|•|PB|=(
+1)=2(t+
)≥12,
当且仅当t=,即t=3时“=”成立,这时a=b=5;
∴直线ℓ的方程为:x+y-5=0.
参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
正确答案
解析
解:把参数方程(t为参数)消去参数,化为普通方程为 2x-y-7=0,表示一条直线,
故选A.
已知直线L的参数方程:(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=2
sin(θ+
)(θ为参数).
(1)求圆C的直角坐标方程.
(2)判断直线L和圆C的位置关系.
正确答案
解:(1)消去参数t,得直线l的方程为y=2x+1;
ρ=2sin(θ+
),即ρ=2(sin θ+cos θ),
两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ),
消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为:
(x-1)2+(y-1)2=2;
(2)由于圆心C(1,1)到直线l的距离,
d==
<r=
,
所以直线l和⊙C相交.
解析
解:(1)消去参数t,得直线l的方程为y=2x+1;
ρ=2sin(θ+
),即ρ=2(sin θ+cos θ),
两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ),
消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为:
(x-1)2+(y-1)2=2;
(2)由于圆心C(1,1)到直线l的距离,
d==
<r=
,
所以直线l和⊙C相交.
在极坐标系内,已知曲线C1的方程为ρ2-2ρ(cosθ-2sinθ)+4=0,以极点为原点,极轴方向为x正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程为(t为参数).
(Ⅰ)求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程;
(Ⅱ)设点P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的两条切线,求这两条切线所成角余弦的最小值.
正确答案
解:(Ⅰ)对于曲线C1的方程为ρ2-2ρ(cosθ-2sinθ)+4=0,
可化为直角坐标方程x2+y2-2x+4y+4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1;
对于曲线C2的参数方程为(t为参数),
可化为普通方程3x+4y-15=0.
(Ⅱ)过圆心(1,-2)点作直线3x+4y-15=0的垂线,此时两切线成角θ最大,即余弦值最小.
则由点到直线的距离公式可知,,则
,
因此,,
因此两条切线所成角的余弦值的最小值是.
解析
解:(Ⅰ)对于曲线C1的方程为ρ2-2ρ(cosθ-2sinθ)+4=0,
可化为直角坐标方程x2+y2-2x+4y+4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1;
对于曲线C2的参数方程为(t为参数),
可化为普通方程3x+4y-15=0.
(Ⅱ)过圆心(1,-2)点作直线3x+4y-15=0的垂线,此时两切线成角θ最大,即余弦值最小.
则由点到直线的距离公式可知,,则
,
因此,,
因此两条切线所成角的余弦值的最小值是.
设极坐标方程为ρ=3的圆上的点到参数方程为的直线的距离为d,求d的最大值.
正确答案
解:由圆的极坐标方程ρ=3可得直角坐标方程:x2+y2=9.
由直线的参数方程为消去参数t可得2x-y-5=0.
∴圆心到直线的距离==
.
因此圆上的点到直线的距离d的最大值为+3.
解析
解:由圆的极坐标方程ρ=3可得直角坐标方程:x2+y2=9.
由直线的参数方程为消去参数t可得2x-y-5=0.
∴圆心到直线的距离==
.
因此圆上的点到直线的距离d的最大值为+3.
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