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题型:简答题
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简答题

过点P(2,3)作直线l分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A(a,0),B(0,b)两点

(1)求|PA|+|PB|的最小值.

(2)当△AOB(O为原点)的面积S最小时,求直线l的方程,并求出S的最小值.

(3)当|PA|•|PB|取得最小值时,求直线ℓ的方程.(提示:设∠OAB=θ,以θ为参变量求解,x+y-5=0)

正确答案

解:(1)∵过A、B两点的直线方程为+=1(a>0,b>0);

且点P在直线AB上,∴+=1;

∴|PA|+|PB|=

当且仅当a=b时,此时+=1,

∴a=b=5时,取“=”;

∴|PA|+|PB|的最小值是5

(2)△AOB的面积为S=ab,

+=1,

∴2+=1,

∴ab≥24,当且仅当=

即a=4、b=6时取“=”;

∴a=4,b=6时,△AOB的面积取得最小值S=12;

(3)设ℓ:+=1(a>0、b>0),∠BAO=θ,如图所示;

则|PA|=,|PB|=

sinθ=

∴|PA|•|PB|==3(b-3)[+1];

又P(2,3)在ℓ上,∴+=1;

=

∴|PA|•|PB|=3(-3)[+1]=3××[+1];

设a-2=t(t>0),则|PA|•|PB|=+1)=2(t+)≥12,

当且仅当t=,即t=3时“=”成立,这时a=b=5;

∴直线ℓ的方程为:x+y-5=0.

解析

解:(1)∵过A、B两点的直线方程为+=1(a>0,b>0);

且点P在直线AB上,∴+=1;

∴|PA|+|PB|=

当且仅当a=b时,此时+=1,

∴a=b=5时,取“=”;

∴|PA|+|PB|的最小值是5

(2)△AOB的面积为S=ab,

+=1,

∴2+=1,

∴ab≥24,当且仅当=

即a=4、b=6时取“=”;

∴a=4,b=6时,△AOB的面积取得最小值S=12;

(3)设ℓ:+=1(a>0、b>0),∠BAO=θ,如图所示;

则|PA|=,|PB|=

sinθ=

∴|PA|•|PB|==3(b-3)[+1];

又P(2,3)在ℓ上,∴+=1;

=

∴|PA|•|PB|=3(-3)[+1]=3××[+1];

设a-2=t(t>0),则|PA|•|PB|=+1)=2(t+)≥12,

当且仅当t=,即t=3时“=”成立,这时a=b=5;

∴直线ℓ的方程为:x+y-5=0.

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题型: 单选题
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单选题

参数方程(t为参数)所表示的曲线是(  )

A直线

B

C椭圆

D双曲线

正确答案

A

解析

解:把参数方程(t为参数)消去参数,化为普通方程为 2x-y-7=0,表示一条直线,

故选A.

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题型:简答题
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简答题

已知直线L的参数方程:(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=2sin(θ+)(θ为参数).

(1)求圆C的直角坐标方程.

(2)判断直线L和圆C的位置关系.

正确答案

解:(1)消去参数t,得直线l的方程为y=2x+1;

ρ=2sin(θ+),即ρ=2(sin θ+cos θ),

两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ),

消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为:

(x-1)2+(y-1)2=2;

(2)由于圆心C(1,1)到直线l的距离,

d==<r=

所以直线l和⊙C相交.

解析

解:(1)消去参数t,得直线l的方程为y=2x+1;

ρ=2sin(θ+),即ρ=2(sin θ+cos θ),

两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ),

消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为:

(x-1)2+(y-1)2=2;

(2)由于圆心C(1,1)到直线l的距离,

d==<r=

所以直线l和⊙C相交.

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题型:简答题
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简答题

在极坐标系内,已知曲线C1的方程为ρ2-2ρ(cosθ-2sinθ)+4=0,以极点为原点,极轴方向为x正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程为(t为参数).

(Ⅰ)求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程;

(Ⅱ)设点P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的两条切线,求这两条切线所成角余弦的最小值.

正确答案

解:(Ⅰ)对于曲线C1的方程为ρ2-2ρ(cosθ-2sinθ)+4=0,

可化为直角坐标方程x2+y2-2x+4y+4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1;

对于曲线C2的参数方程为(t为参数),

可化为普通方程3x+4y-15=0.

(Ⅱ)过圆心(1,-2)点作直线3x+4y-15=0的垂线,此时两切线成角θ最大,即余弦值最小.

则由点到直线的距离公式可知,,则

因此,

因此两条切线所成角的余弦值的最小值是

解析

解:(Ⅰ)对于曲线C1的方程为ρ2-2ρ(cosθ-2sinθ)+4=0,

可化为直角坐标方程x2+y2-2x+4y+4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1;

对于曲线C2的参数方程为(t为参数),

可化为普通方程3x+4y-15=0.

(Ⅱ)过圆心(1,-2)点作直线3x+4y-15=0的垂线,此时两切线成角θ最大,即余弦值最小.

则由点到直线的距离公式可知,,则

因此,

因此两条切线所成角的余弦值的最小值是

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题型:简答题
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简答题

设极坐标方程为ρ=3的圆上的点到参数方程为的直线的距离为d,求d的最大值.

正确答案

解:由圆的极坐标方程ρ=3可得直角坐标方程:x2+y2=9.

由直线的参数方程为消去参数t可得2x-y-5=0.

∴圆心到直线的距离==

因此圆上的点到直线的距离d的最大值为+3.

解析

解:由圆的极坐标方程ρ=3可得直角坐标方程:x2+y2=9.

由直线的参数方程为消去参数t可得2x-y-5=0.

∴圆心到直线的距离==

因此圆上的点到直线的距离d的最大值为+3.

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