- 数列求和、数列的综合应用
- 共397题
已知数列{an}的前n项和,若它的第k项满足2<ak<5,则k=( )
正确答案
解析
已知数列{an}的前n项和,n=1可得S1=a1=1-3=-2,
∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣3n﹣[(n﹣1)2﹣3(n﹣1)]=2n﹣4,
n=1满足an,
∴an=2n﹣4,
∵它的第k项满足2<ak<5,即2<2k﹣4<5,解得3<k<4.5,因为n∈N,
∴k=4,
故选C;
知识点
已知函数,数列{
}的前n项和为
,点
都在函数y=f(x)的图象上。
(1)求数列{}的通项公式
;
(2)令
,
是数列{
}的前n项
和,
求
;
(3)令
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知数列,满足
,且当
(
)时,
.令
。
(1)写出的所有可能取值;
(2)求的最大值.
正确答案
(1),
,
,
,
(2)
解析
(1)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:
1)此时
;
2)此时
;
3)此时
;
4)此时
;
5)此时
;
6)此时
.
所以,的所有可能取值为:
,
,
,
,
。 .………5分
(2)由,可设
,则
或
(
,
),
,
,
…
,
所以。………7分
因为,所以
,且
为奇数,
是由
个1和
个
构成的数列。
所以
。
则当的前
项取
,后
项取
时
最大,
此时。.……10分
证明如下:
假设的前
项中恰有
项
取
,则
的后
项中恰有
项
取
,其中
,
,
,
。
所以
。
所以的最大值为
。 .………13分
知识点
在等比数列中,
公比
,且对任意的
,都有
(1)求数列的通项公式。
(2)若表示数列
的
项和,前求数列
的前
项和
,并求
的最小值。
正确答案
见解析。
解析
因为数列是公比为
的等比数列,
所以是公式为
的等比数列。
故
而
所以
整理得
所以
所以
(2) 数列的
项和
所以
故
因为,所以
所以为递增数列。
所以当时
有最小值
求的最小值思路二:
令得
此时二次函数在
时为增函数,
故当即
时
有最小值
。
知识点
已知各项均不相等的等差数列的前5项和
,又
成等比数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列
的前
项和,问是否存在常数
,使
,若存在,求
的值;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)设数列的公差为
,由已知得
,
又成等比数列,所以
解得:
所以
(2)
所以
故存在常数
知识点
已知函数,数列{
}的前n项和为
,点
都在函数y=f(x)的图象上。
(1)求数列{}的通项公式
;
(2)令
,
是数列{
}的前n项
和,
求
;
(3)令
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知等比数列成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知数列的前
项和是
,且
(1)求数列的通项公式;
(2)设,令
…
,求
.
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知点(1,2)是函数的图象上一点,数列
的前n项和
.
(1)求数列的通项公式;
(2)将数列前2013项中的第3项,第6项,…,第3k项删去,求数列
前2013项中剩余项的和.
正确答案
见解析。
解析
(1)把点(1,2)代入函数,得
.……………………(1分)
…………………………………………(2分)
当时,
…………………………………(3分)
当时,
……………………………………………(5分)
经验证可知时,也适合上式,
.…………………………………………………………(6分)
(2)由(1)知数列为等比数列,公比为2,故其第3项,第6项,…,第2013项也为等比数列,首项
公比
为其第671项………………………………………………………………(8分)
∴此数列的和为……………………(10分)
又数列的前2013项和为
…………………………………(11分)
∴所求剩余项的和为…(12分
知识点
对于每一个正整数,设曲线
在点(1,1)处的切线与
轴的交点的横坐标为
,令
,则
= 。
正确答案
-2
解析
知识点
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