数列求和、数列的综合应用
共397题

数列求和、数列的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 12 分

17.等差数列{}中，

（I）求{}的通项公式；

(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

正确答案

知识点

等差数列的前n项和及其最值其它方法求和数列与其它知识的综合问题

题型：填空题

填空题 · 12 分

等差数列{}中，

（I）求{}的通项公式；

(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

正确答案

(Ⅰ)设数列的公差为d。由题意有，解得，

所以的通项公式为.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，

当n=1,2,3时，；

当n=4,5时，；

当n=6,7,8时，；

当n=9,10时，，

所以数列的前10项和为.

知识点

等差数列的性质及应用其它方法求和数列与不等式的综合数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.

（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；

（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.

正确答案

（1）因为，，所以，

从而与不是无穷互补数列．

（2）因为，所以．

数列的前项的和为

．

（3）设的公差为，，则．

由，得或．

若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；

若，则，，．

综上，，．

知识点

其它方法求和数列与函数的综合数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.已知是公差为3的等差数列，数列满足，.

（I）求的通项公式；

（II）求的前n项和.

正确答案

解：(1) ∵ anbn+1+bn+1=nbn ∴ n=1时 a1·b2+b2=b1

∴ a1· ∴ a1=2 由已知{an}乘以2为首项，公差3的等差数列

∴ an=a1+(n-1)·d=2+3(n-1) ∴ an=3n-1

(2)由①知代入

中∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn

∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn ∴ bn+1= (n∈n*)

∴ 设{bn}构成以1为首项，公比为的等比数列

∴ 设{bn}前n项和Sn，则Sn

知识点

等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值其它方法求和

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知函数，记。设，若，则的最大值为。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

运用诱导公式化简求值其它方法求和数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知数列{an}的通项公式an =(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＜–5成立的自然数n （）

A有最大值63

B有最大值31

C有最小值63

D有最小值31

正确答案

解析

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知识点

对数的运算性质其它方法求和数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列对任意，都有成立，求的值。

（3）在数列中，，且满足，求下表中前行所有数的和.

……

…… ……

正确答案

（1）（2）（3）

解析

解析：（1）∵是递增的等差数列，设公差为 ……………………1分

、、成等比数列，∴ ……………………2分

由及得 ……………………………3分

∴ ……………………………4分

（2）∵，对都成立

当时，得 ……………………………5分

当时，由①，及②

①－②得，得 …………………7分

∴ …………………8分

∴ ……………10分

(3)∵ ∴

又∵ ∴ ………………………………13分

∵ ………………………………14分

∴第行各数之和

…………16分

∴表中前行所有数的和

知识点

其它方法求和等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

若在数列中，，且对任意的，成等比数列，其公比为.

（1）若（），求.

（2）若对任意的，成等差数列，其公差为，设.

①求证：成等差数列；

②若，试求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1），，是首项为1，公比为4的等比数列，

（2）①成等差数列，，又

，，则，得

，，即，

是公差为1的等差数列.

②，则由，解得或.

（ⅰ）当时，，，则，即，

得，所以，

则，

，则

（ⅱ）当时，，则，

即，得，

则，，从而.

综上所述，或。

知识点

等差数列的判断与证明其它方法求和等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列{}的前n项和，数列{}满足，且。

（1）求，；

（2）设为数列{}的前n项和，求。

正确答案

见解析。

解析

知识点

其它方法求和

题型：简答题

简答题 · 13 分

对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”。

（1）若，，，数列、是否为“数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；

（2）证明：若数列是“数列”，则数列也是“数列”；

（3）若数列满足，，为常数，求数列前项的和。

正确答案

见解析

解析

（1）因为则有

故数列是“数列”，对应的实常数分别为。

因为，则有

故数列是“数列”，对应的实常数分别为。---------------4分

（2）证明：若数列是“数列”，则存在实常数，

使得对于任意都成立，

且有对于任意都成立，

因此对于任意都成立，

故数列也是“数列”。

对应的实常数分别为。--------------8分

（3）因为，则有，，

，。

故数列前项的和

-----------------13分

知识点

等比数列的基本运算其它方法求和

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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