数列求和、数列的综合应用
共397题

数列求和、数列的综合应用
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题型：填空题

填空题 · 4 分

14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为 .

正确答案

解析

由于，于是，也即从第 2 项起数列的不同取值不超过 3 个，进而数列中的项的所有不同取值．事实上，取数列 : 2,1,0,−1 ,1,0,−1 ,1,0,−1 ,··· ,此时.

考查方向

推理

解题思路

归纳，推理

易错点

推理的切入点

知识点

数列与函数的综合数列的极限

题型：单选题

单选题 · 5 分

18．设是直线与圆在第一象限的交点，则极限( ).

正确答案

解析

因为是直线与圆在第一象限的交点，

而是经过点与的直线的斜率，由于点在圆上.

因为，所以.

考查方向

本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

解题思路

当n→+∞时，直线趋近于2x-y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出

易错点

数列数列极限思想的正确理解运用

知识点

数列的极限直线和圆的方程的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

18．设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）

正确答案

解析

当时,且，

而由,得

所以

而则为该圆在（1，1）处切线的斜率，

又且故.

故选A.

知识点

数列的极限数列与解析几何的综合直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列中，.

（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；

（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）由知，，

又是以为首项，为公比的等比数列，

（2），

，

两式相减得

，

若n为偶数，则

若n为奇数，则

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），

化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，

当d=0时，an=2，

当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2。

（2）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，

此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，

当an=4n﹣2时，Sn==2n2，

令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41，

综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，

当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数。

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________。

正确答案

解析

,而，即

又b＞a可得（0＜x＜1），解得

知识点

等比数列的性质及应用数列与不等式的综合一元二次不等式的解法

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

的图象上。

（1）求数列的通项公式；

（2）令证明：。

正确答案

见解析。

解析

（1）

当；当，适合上式，

（2）证明：由

又

……12分

成立

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等差数列的公差，前项和为。

（1）若成等比数列，求；

（2）若，求的取值范围。

正确答案

（1）或。

（2）

解析

本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想。

（1）因为数列的公差，且成等比数列，

所以，

即，解得或。

（2）因为数列的公差，且，

所以；

即，解得

知识点

数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.

（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.

正确答案

（1）3；（2）2.

解析

（1）观察知；；

一次类推；；

；，，，

b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

在数列中，. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列.

（1）试写出数列的一个3项子列，并使其为等比数列；

（2）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；

（3）如果为数列的一个6项子列，且为等比数列，证明：.

正确答案

见解析

解析

（1）解：答案不唯一. 如3项子列：，，. ……………… 2分

（2）证明：由题意，知，所以 .…………… 4分

因为，，所以，解得 . 所以.…………… 7分

（3）证明：由题意，设的公比为，则 .

因为为的一个6项子列，所以为正有理数，且，.……………… 8分

设，且互质，）.

当时，因为，所以，

所以 .……………… 10分

当时，因为是中的项，且互质，所以，

所以

因为，，所以 .

综上， .……………… 13分

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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