数列求和、数列的综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.已知等比数列的公比，且成等差数列，数列满足： .

（I）求数列和的通项公式；

（II）若恒成立，求实数m的最小值.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了等差、等比数列的基本运算，考察了等比数列的基本运算，考察了由与的关系求通项，考察了函数的恒成立问题，考察了数列的单调性问题。

解题思路

1）借助等差数列性质求出

2）利用由与的关系求通项的方法求出并确定

3）对移项得到新数列

4）讨论新数列单调性，并求出最值

易错点

本题第一问忽略验证，第二问数列的单调性判断不出

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知数列{an}满足a11，．若，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　　　　　　.

正确答案

解析

易知＝＋1，∴＋1＝2(＋1).

又a1＝1，∴＋1＝(＋1)＝2n，∴bn＋1＝(n－λ)2n，∴，

当时，也符合，

∴bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)＝(n－λ＋1)>0，∴n＋1＞λ，

又n∈N*，∴λ<2.

考查方向

本题主要考查已知递推公式求通项公式，以及数列的单调性。

解题思路

1)由，得到新的等比数列；

2)由数列单调性的定义求的范围；

易错点

本题易根据函数的单调性判断数列的单调性，忽略数列自变量的特殊性；

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等比数列的前项和为，，且成等差数列．

22.求数列的通项公式；

23.设数列满足，求满足方程的正整数的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），N．

解析

（Ⅰ）设等比数列的公比为．

∵ 成等差数列，∴．

∴，解得或（舍去）

∴=．

∴数列的通项公式为，N．

考查方向

本题主要考查等比数列通项公式、新数列求和（裂项相消）等知识，意在考查考生的运算求解能力．

解题思路

先根据题中给出的条件成等差数列求出公比q，后即可得到通项公式；

易错点

对于题中给出的条件成等差数列不会转化；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）．

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴．

∵数列满足，∴． …………7分

∴．

由得，．

∴满足方程的正整数的值为．

考查方向

本题主要考查等比数列通项公式、新数列求和（裂项相消）等知识，意在考查考生的运算求解能力．

解题思路

1.先根据题中给出的条件成等差数列求出公比q，后即可得到通项公式；2.先根据第（1）问求出，后利用列项相消法求和后即可得到答案。

易错点

1.对于题中给出的条件成等差数列不会转化；2.利用列项相消法求和求不对。

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16. 设,为数列的前项和，满足，时，则的最大值为

正确答案

解析

f()+ f()==+=2,因为++……+,++，所以2=2(n-1),所以= n-1，当n=1时，= 1-1=0，适合题意，所以= n-1(n),= ,,因为n,当n=2时，= ，当n=3时，=，,所以最大值.所以填

考查方向

函数与数列的关系，均值不等式。

解题思路

可利用倒序相加求= n-1，再分别求代数中的三个数得到关于正整数n的函数，利用均值不等求最大值。

易错点

求时思路不清，对最值的讨论，容易忽略n的取值范围。

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与函数的综合数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

23.一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

（1）若点为抛物线准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明；

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(请简要说明理由)；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,求数列和的通项公式。

正确答案

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：

（2）依题意，

随着的增大，点无限接近点

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近

所以 =

(注：只要能说明横纵坐标的变化趋势，用文字表达也行)

（3）设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：

，且

其中，∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴，

即当为偶数时，，

又，

∴当为奇数时，

∴，；

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知识点

等差数列的性质及应用数列的极限数列与解析几何的综合抛物线的标准方程和几何性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。

正确答案

（Ⅰ）由题意可得：

①

时, ②

①─②得，

是首项为，公比为的等比数列，

（Ⅱ）解法一:

若为等差数列，

则成等差数列，

得

又时，，显然成等差数列，

故存在实数，使得数列成等差数列.

解法二:

欲使成等差数列,只须即便可.

故存在实数，使得数列成等差数列.

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明数列与解析几何的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得

an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，

又a2＝ra1＝ra，所以

当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；

当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，

于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得，

∴a2，a3，…，an，…成等比数列，

∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.

综上，数列{an}的通项公式为

（2）对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：

当r＝0时，由（1）知，

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列；

当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，

若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，

∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1，

由(1)知，a2，a3，…，an，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，

且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，

∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列。

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列。

知识点

数列与解析几何的综合

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知曲线，过C上一点作斜率的直线，交曲线于另一点，再过作斜率为的直线，交曲线C于另一点，…，过作斜率为的直线，交曲线C于另一点…，其中，

（1）求与的关系式；

（2）判断与2的大小关系，并证明你的结论；

（3）求证：.

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知过斜率为的直线为

，

直线交曲线C于另一点

所以=

即，≠0，

所以

（2）解：当为奇数时，；当n为偶数时，

因为，

注意到，所以与异号

由于，所以，以此类推，

当时，；

当时，

（3）由于，，

所以≥1（，…）

所以≤

所以≤≤≤…≤

所以≤

知识点

数列与解析几何的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

19.已知数列{}中，点P（，）在直线上，数列{}的通项为，前项和为，且是与2的等差中项；

（Ⅰ）求数列{}、{}的通项公式，；

（Ⅱ）设求满足的最小整数.

正确答案

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解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合数列与解析几何的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等差数列的公差大于0，且、是方程的两根，数列的前项和为，且。

23.求数列、的通项公式；

24.记，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）由+=12，=27，且>0,所以=3，=9，

从而，（n∈N*）（………………………4分）

在已知中，令n=1，得

当时，，，两式相减得，，

，。（n∈N*）（………………………8分）

考查方向

考查等差数列与等比数列通项公式，以及给出数列的递推公式，求通项公式的方法

解题思路

先解一元二次方程可得=3，=9，再根据等差数列的性质求通项公式；从递推关系出发，用n-1代替等式中的n得到两个关于前n项和的关系式，两式相减得到数列的相邻两项的关系，得到等比数列。

易错点

熟悉已知递推关系求数列通项公式的方法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

。（………………………12分）

考查方向

考查比较大小的方法，求差比较法

解题思路

求出数列的通项公式直接相邻两项相减求解。

易错点

熟悉求差比较法

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