平面向量的综合题
共10题

· 平面向量的综合题

平面向量的综合题
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题型：单选题

单选题 · 5 分

在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是

正确答案

知识点

数量积的坐标表达式平面向量的综合题

题型：简答题

简答题 · 4 分

14.如图，

在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是_______________

正确答案

解析

知识点

平面向量的综合题与面积、体积有关的几何概型

题型：填空题

填空题 · 4 分

12．在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是__________．

正确答案

解析

设，，则，，

∴．

考查方向

曲线方程；向量的数量积；三角函数的性质．

解题思路

先设半圆曲线上动点的坐标，注意的取值范围；然后利用向量数量积的坐标公式求得是关于的三角函数，最后利用三角函数的性质，根据的取值范围求得的取值范围．

易错点

正确设动点的坐标；利用三角函数性质求取值范围时对参数的取值范围的关注．

知识点

平面向量的综合题圆的标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．如图，B是AC的中点，，P是矩形内（含边界）的一点，且+。有以下结论：①当时，；②当是线段的中点时，；③若为定值，则在平面直角坐标系中，点的轨迹是一条线段；④的最大值为－1；其中你认为正确的所有结论的序号为 ▲ 。

正确答案

②③④

解析

因为+，当时，点在上，故，所以①错误；当是线段的中点时

所以，②正确；若为定值1时，三点共线，又是矩形内（含边界）的一点，所以点的轨迹是一条线段，③正确；当点在点时，最大-1，④正确；正确的序号为②③④。

考查方向

本题主要考查数量积坐标表示的应用。

解题思路

1）由已知条件，+，得到点的位置；

2）由平面向量基本定理得到的关系；

易错点

本题向量共线的充要条件，以及平面向量基本定理运用时容易出现错误。

知识点

向量在几何中的应用平面向量的综合题用其它方法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知两个非零平面向量满足：对任意恒有，若，则 .

正确答案

考查方向

本题考查平面向量的数量积以及模的运算。

解题思路

原不等式可以转化为关于的一元二次方程，再转成二次不等式恒成立问题。

易错点

不明确不等式的转型

知识点

平面向量数量积的运算平面向量的综合题

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知的边所在直线的方程为,满足,点在所在直线上且．

（Ⅰ）求外接圆的方程；

（Ⅱ）一动圆过点，且与的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅲ）过点斜率为的直线与曲线交于相异的两点，满足，求的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）,从而直线AC的斜率为．

所以AC边所在直线的方程为．即．

由得点的坐标为，

又．

所以外接圆的方程为: ．

（Ⅱ）设动圆圆心为，因为动圆过点，且与外接圆外切，

所以，即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为，半焦距的双曲线的左支．

从而动圆圆心的轨迹方程为．

(Ⅲ)直线方程为：,设

由得

解得：

故的取值范围为

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知识点

平面向量的综合题圆的标准方程定义法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

多选题

房地产价格构成的基本要素有( )。

A．土地价格
B．税金
C．利润
D．租金收入
E．房屋建筑成本

正确答案

A,B,C,E

解析

[解析] 房地产价格构成的基本要素有土地价格或使用费、房屋建筑成本、税金和利润等。

题型：简答题

单选题

国内理财顾问服务流程的最后一步是( )。

A．实施计划
B．基础规划
C．建立投资组合
D．绩效评估

正确答案

解析

[解析] 国内理财顾问业务最后需要进行的就是绩效评估。

题型：简答题

简答题 · 12 分

16．已知A，B是的两个内角，，（其中是互相垂直的单位向量），若

（1）试问是否为定值，若是定值，请求出，否则请说明理由；

（2）求的最大值，并判断此时三角形的形状。

正确答案

（1）

（2）

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知识点

三角函数中的恒等变换应用向量在几何中的应用平面向量的综合题利用基本不等式求最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.已知平面向量a=（–1）,b=（）。

（1）证明a⊥b；

（2）若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+ （t2–3）b，y=–ka+tb，且x⊥y,试求函数关系式k=f（t）；

（3）据（2）的结论,讨论关于t的方程f（t）–k=0的解的情况。

正确答案

（1）证明：∵a·b==0，∴a⊥b

（2）解：∵x⊥y,∴x·y=0

即［a+（t2–3）b］·（–ka+tb）=0，整理后得

–ka2+［t–k（t2–3）］a·b+t（t2–3）·b2=0

∵a·b=0,a2=4,b2=1

∴上式化为–4k+t（t2–3）=0，∴k=t（t2–3）.

（3）解：讨论方程t（t2–3）–k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t2–3）与直线y=k的交点个数

于是f′（t）=（t2–1）=（t+1）（t–1）.

令f′（t）=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时，f′（t）,f（t）的变化情况如下表：

当t=–1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=；

当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=–.

而f（t）=（t2–3）t=0时，得t=–，0，.

所以f（t）的图象大致如下：

于是当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f（t）仅有一个交点，则方程有一解；

当k=或k=–时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–<k<0或0<k<时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解。

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知识点

函数解析式的求解及常用方法量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的综合题

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