- 抛物线焦点弦的性质
- 共78题
已知抛物线上一点P到焦点F的距离是5,则点P的横坐标是 .
正确答案
解析
略
知识点
如图(6)已知抛物线的准线为,焦点为F,圆M的圆心在x轴的正半轴上,且与y轴相切,过原点作倾斜角为的直线t,交于点A,交圆M于点B,且。
(1)求圆M和抛物线C的方程;
(2)试探究抛物线上是否存在两点关于直线
对称?若存在,求出直线 的方程,若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,即,∴所求抛物线的方程为 ∴设圆的半径为r,则,∴圆的方程为.-
(2)设关于直线对称,且中点
∵ 在抛物线上,∴
两式相减得:
∴,∴
∵在上∴,点在抛物线外
∴在抛物线上不存在两点关于直线对称。
知识点
已知抛物线方程为,则它的焦点坐标为()
正确答案
解析
略
知识点
抛物线的焦点为,点为抛物线上的动点,点为其准线上的动点,当为等边三角形时,其面积为()
正确答案
解析
略
知识点
如图6,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,又椭圆C上的任一点到椭圆C
的两焦点的距离之和为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若平行于y轴的直线与椭圆C相交于不同
的两点,过两点作圆心为M的圆,使椭圆C上的其余点均在圆M外。求的面积S的最大值。
正确答案
见解析。
解析
(2)
知识点
已知抛物线的焦点为F2,点F1与F2关于坐标原点对称,直线m垂直于x轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P、Q且.
(1)求点T的横坐标;
(2)若以F1,F2为焦点的椭圆C过点.
①求椭圆C的标准方程;
②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,设,若的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)由题意得,,设,
则,.
由,
得即,① …………………2分
又在抛物线上,则,②
联立①、②易得 ……………………4分
(2)(ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意得,
设椭圆的标准方程为,
则 ③
④ …………………5分
将④代入③,解得或(舍去)
所以 ……………………6分
故椭圆的标准方程为 ……………………7分
(ⅱ)方法一:
容易验证直线的斜率不为0,设直线的方程为
将直线的方程代入中得:.………………8分
设,则由根与系数的关系,
可得: ⑤
⑥ …………………9分
因为,所以,且.
将⑤式平方除以⑥式,得:
由
所以 ……………………………………………………………11分
因为,所以,
又,所以,
故
,
令,因为 所以,即,
所以.
而,所以.
所以.……………………………………………………13分
方法二:
1)当直线的斜率不存在时,即时,,,
又,所以 …………8分
2)当直线的斜率存在时,即时,设直线的方程为
由得
设,显然,则由根与系数的关系,
可得:, ……………………9分
⑤
⑥
因为,所以,且.
将⑤式平方除以⑥式得:
由得即
故,解得 ………………………………………10分
因为,所以,
又,
故
…………………11分
令,因为 所以,即,
所以.
所以 ……………………12分
综上所述:. ……………………13分
知识点
抛物线的焦点坐标为
正确答案
解析
略
知识点
抛物线的焦点到准线的距离为 。
正确答案
2
解析
略
知识点
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,
直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( )
正确答案
解析
知识点
已知椭圆的两个焦点分别为,,点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于,两点,设点,记直线,的斜率分别为,,求证:为定值.
正确答案
见解析
解析
(1)依题意,由已知得 ,,由已知易得,
解得.………………………3分
则椭圆的方程为. ………………………4分
(2) ①当直线的斜率不存在时,由解得.
设,,则为定值. ………5分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为:.
将代入整理化简,得.…6分
依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,,
则,. ……………………7分
又,,
所以 ………………………8分
.…….………………13分
综上得为常数2. .…….………………14分
知识点
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