抛物线焦点弦的性质
共78题

· 抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20.在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

（I）求；

（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

正确答案

解：将直线l与抛物线联立∴ 解得

(1) ∵ M关于P的对称点为N ∴ ∴ 即

∴ ON直线斜率 ∴ ON方程

则H点坐标∴解答 ∴

∴‍=2

(2)由①知∴ MH直线程

与抛物线联立得

即y2-4ty=4t2 ∴∴直线MH与抛物相切

∴ 直线MH与曲线C除点H外没有其它公共点

知识点

抛物线的定义及应用抛物线焦点弦的性质抛物线的有关应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.

已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

正确答案

（Ⅰ）由题设.设，则，且

记过两点的直线为，则的方程为. .....3分

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则

所以. ......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．

34.若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；

35.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．

①求证：线段上的中点坐标为；

②求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，与轴的交点坐标为

即抛物线的焦点为，

；

考查方向

直线与抛物线位置关系

解题思路

易错点

抛物线方程的形式，设而不求的思想。直线与抛物线的位置关系的运算程序。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

① 设点，

则：，即，

又关于直线对称，

即，

又中点一定在直线上

线段上的中点坐标为；②

解析

① 设点，

则：，即，

又关于直线对称，

即，

又中点一定在直线上

线段上的中点坐标为；

② 中点坐标为

即

，即关于有两个不等根

，，．

考查方向

直线与抛物线位置关系

解题思路

易错点

抛物线方程的形式，设而不求的思想。直线与抛物线的位置关系的运算程序。

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