- 圆的一般方程
- 共2177题
(1)若AB=8,求直线的方程;
(2)当直线的斜率为
时,在
上求一点P,使P到圆C的切线长等于PS;
(3)设AB的中点为N,试在平面上找一定点M,使MN的长为定值
正确答案
(1)或
(2)点的坐标为
(3)定点M的坐标为
(1)圆的方程是……………1分
由条件可知:圆心C到直线的距离为3.……………………3分
当斜率不存在时,符合条件;…………………………4分
当斜率存在时,根据点到直线的距离公式求得的方程为
.
∴直线方程是
或
.………………6分
(2)当斜率为-2时,直线
方程为
,
根据题意,有……10分
解之得.
∴点的坐标为
.……………12分
(3)定点M的坐标为,由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得…16分
已知⊙和点
.
(Ⅰ)过点向⊙
引切线
,求直线
的方程;
(Ⅱ)求以点为圆心,且被直线
截得的弦长为4的⊙
的方程;
(Ⅲ)设为(Ⅱ)中⊙
上任一点,过点
向⊙
引切线,切点为
. 试探究:平面内是否存在一定点
,使得
为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(Ⅰ) ;(Ⅱ)
(Ⅲ)可以找到这样的定点,使得
为定值. 如点
的坐标为
时,比值为
;
点的坐标为
时,比值为
试题分析:(Ⅰ)设切线方程为
,易得
,解得
……4分
∴切线方程为
(Ⅱ)圆心到直线的距离为
,设圆的半径为
,则
,
∴⊙的方程为
(Ⅲ)假设存在这样的点,点
的坐标为
,相应的定值为
,
根据题意可得,∴
,
即 (*),
又点在圆上∴
,即
,代入(*)式得:
若系数对应相等,则等式恒成立,∴,
解得
∴可以找到这样的定点,使得
为定值. 如点
的坐标为
时,比值为
;
点的坐标为
时,比值为
点评:中档题,涉及圆的题目,在近些年高考题中是屡有考查,求圆标准方程,研究直线与圆的位置关系。求圆的标准方程,主要考虑定义法、待定系数法。涉及直线于圆位置关系问题,往往应用韦达定理或充分利用“特征三角形”,通过半径、弦长一半、圆心到弦的距离,建立方程(组)。
(本小题满分14分)
设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到直线的距离为
,求该圆的方程.
正确答案
设圆心为,半径为r,由条件①:
,由条件②:
,从而有:
.由条件③:
,解方程组
可得:
或
,所以
.故所求圆的方程是
或
略
已知圆,椭圆
.
(Ⅰ)若点在圆
上,线段
的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点
的横坐标;
(Ⅱ)现有如下真命题:
“过圆上任意一点
作椭圆
的两条切线,则这两条切线互相垂直”;
“过圆上任意一点
作椭圆
的两条切线,则这两条切线互相垂直”.
据此,写出一般结论,并加以证明.
正确答案
(1)
(2)一般结论为: “过圆上任意一点
作椭圆
的两条切线,则这两条切线互相垂直.”
试题分析:解法一:
(Ⅰ)设点,则
, (1) 1分
设线段的垂直平分线与
相交于点
,则
, 2分
椭圆的右焦点
, 3分
,
,
,
, (2) 4分
由(1),(2),解得 ,
点
的横坐标为
. 5分
(Ⅱ)一般结论为:
“过圆上任意一点
作椭圆
的两条切线,则这两条切线互相垂直.” 6分
证明如下:
(ⅰ)当过点与椭圆
相切的一条切线的斜率
不存在时,此时切线方程为,
点
在圆
上 ,
,
直线
恰好为过点
与椭圆
相切的另一条切线
两切线互相垂直. 7分
(ⅱ)当过点与椭圆
相切的切线的斜率存在时,
可设切线方程为,
由得
,
整理得, 8分
直线与椭圆相切,
,
整理得, 9分
, 10分
点
在圆
上,
,
,
,
两切线互相垂直,
综上所述,命题成立. 13分
解法二:
(Ⅰ)设点,则
, (1) 1分
椭圆的右焦点
, 2分
点
在线段
的垂直平分线上,
,
,
, (2) 4分
由(1),(2),解得,
点
的横坐标为
. 5分
点评:主要是考查了椭圆的性质,以及直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。
以,
所连线段为直径的圆的方程是
正确答案
本试题主要是考查了圆的方程的求解。
因为,
,则由中点坐标公式可知,圆心坐标为AB的中点
中点坐标为(1,2),那么可知圆的直径为AB=
,因此半径为
,则可知圆的方程是
,故答案为
。
解决该试题的关键是得到圆心和圆的半径即可。
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