热门试卷

(1)证法一：连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点。

又因为N为B′C′的中点，

所以MN∥AC′。

又MN平面A′ACC′，AC′平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′。

证法二：取A′B′中点P，连结MP，NP，

而M，N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，

PN∥平面A′ACC′。

又MP∩NP＝P，

因此平面MPN∥平面A′ACC′。

而MN平面MPN，

因此MN∥平面A′ACC′。

(2) (2)解法一：连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC。

又A′N＝B′C′＝1，

故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝。

解法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝

（1）解法一：在的延长线上延长至点使得,连接.

由题意得，，，平面，

∴平面，∴，同理可证面.

∵ ，，

∴为平行四边形，

∴.

则（或其补角）为异面直线和

所成的角.             

由平面几何知识及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得

。

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为，

解法二：

同解法一得所在直线相互垂直，故以为原点，所在直线

分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，

∴ ，

得.      

设向量夹角为，则

。

∵ 异面直线的夹角范围为，

∴ 异面直线和所成的角为，

（２）

如图，连结，过作的垂线，垂足为，则平面，且

∵ 

.

∴ 几何体的体积为

（1）∵平面，，

∴，  2分又∵，∴。   …4分

（2）如图（1）在。

，在。

∴。

如图（2），在，过点做于，∴。

，  7分∴。

（3）在线段上存在点N，使得，理由如下：

如图（2）在中，，∴，

过点E做交于点N，则，

∵，    …10分

又，，，

又，∴。

∴在线段上存在点N，使得，此时。