空间几何体的三视图、表面积和体积_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

6．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 .

正确答案

4

解析

依题意，，解得.

考查方向

本题主要考查三棱柱的有关结构性质

解题思路

简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为,区别锥的体积；熟记正三角形面积为，正六边形的面积为.

易错点

准确计算

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

（I）证明：；

(II)若,求五棱锥的D′-ABCFE体积.

正确答案

（I）由已知得，

又由得，故

由此得，所以.

（II）由得

由得

所以

于是故

由（I）知，又，

所以平面于是

又由，所以，平面

又由得

五边形的面积

所以五棱锥体积

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.

如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

（I）证明G是AB的中点；

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

正确答案

(1)证明：∵ PD面ABC ∴ PDAB

∵ DEB ∴ DEAB

又∵ PD ∴ AB平面PGD ∴ PG

∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点

(2) 正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形

∴ PA, PB, PC, ∴ PB

作EF//PB交PA于F 则EF ∴ F为E在平面PAC内正投影

正三棱锥P-ABC中,D为三角形ABC的重心，PA=6 ∴ AB=6

∴ DG=PG=3 ∴ PD==

Rt△PGD中由射影定理PD=PE·PG ∴ PE=

∵ △PAB为等腰直角三角形，EF ∴ EF=PF=×=2

∴ S△PAB=×2×2=2. D-PEF的高为DE.

Rt△PGD中 DE===2

∴ 四面体PDEF体积 VD-PEF=·S△PEF×DE=×2×2=

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积空间两点间的距离公式

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.

正确答案

解析

试题分析：因为，，

所以三棱锥的体积

．

因为，所以异面直线与所成的角就是与的夹角.

在中，，，

过作，则，

在中，，

所以异面直线与所成角的大小.

考查方向

圆锥的性质，异面直线的夹角.

解题思路

求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．

易错点

异面直线所成角的寻找

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

19.证明：平面；

20.当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）略.

解析

试题分析：（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，，所以四边形是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；

（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，所以，

即在图2中，

从而平面

又

所以平面.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

在处理有关空间中的线面平行.线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化

易错点

线线关系与线面关系的转换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ） .

解析

试题分析：（Ⅱ）由已知，平面平面，且平面平面，又由（Ⅰ）知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.

（Ⅱ）由已知，平面平面，

且平面平面

又由（Ⅰ）知，，所以平面，

即是四棱锥的高，

由图1可知，，平行四边形面积，

从而四棱锥的为

，

由，得.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

2.求几何体的体积的方法主要有公式法.割补法.等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.

易错点

体积的计算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

8．设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________.

正确答案

解析

设正方体的棱长为a,利用等体积法即可计算出正方体的棱长为a=。

考查方向

本题主要考查了空间几何体的体积计算及空间想象能力，体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

空间几何体的体积计算及空间想象能力

易错点

对几何体的体积计算公式理解不到位，使用错公式。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，直三棱柱中，，，是棱上的点,.

(1)证明：平面；

(2)平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

正确答案

（1）见解析；（2）3：2．或2：3

解析

试题分析：本题属于立体几何的证明和体积的求解问题，（1）要证明面面垂直，只要证明线面垂直，而线面垂直又最终转化为证明线线垂直；（2）分别计算2个几何体的体积即可。

(1)由题意 ,所以,又,所以．

又,易知 ,所以

,所以面．

(2)设棱锥的体积为,,则有 ,又,

所以分此棱柱的体积比为3：2．或2：3

考查方向

本题考查了立体几何的证明和体积的求解问题。

解题思路

本题考查立体几何的证明和体积的求解问题，解题步骤如下：（1）要证明面面垂直，只要证明线面垂直，而线面垂直又最终转化为证明线线垂直；（2）分别计算2个几何体的体积即可。

易错点

不熟练面面垂直的判定定理。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8. 三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）

A

B

C

D8

正确答案

C

解析

因为三条侧棱两两垂直，所以可设，由题意可知，，则长方体的对角线的长为，所以半径为，所以

考查方向

球的体积和表面积;球内接多面体

解题思路

三棱锥的外接球实际上是它扩展为长方体的外接球,求长方体的对角线的长,就是球的直径,然后求球的体积

易错点

立体感不强;计算能力弱

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有( )

A14斛

B22斛

C36斛

D66斛

正确答案

B

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在三棱锥P－AMC中，AC＝AM＝PM＝2，PM⊥面AMC，AM⊥AC，B，D分别为CM，AC的中点．

（Ⅰ）在PC上确定一点E，使得直线PM∥平面ABE，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AE，与PD相交于点N，求三棱锥B－ADN的体积．

正确答案

（1）E为PC的中点；（2）。

解析

试题分析：本题属于立体几何证明与求体积的问题，（1）利用线面垂直的判定定理来证明；（2）将体积最终转化为。

（Ⅰ）E为PC的中点．理由如下：

连接BE，由于B，E分别为CM，PC的中点，

所以BE∥PM，

又BE平面ABE，PM平面ABE，

所以PM∥面ABE．

（Ⅱ）由于AE，PD分别是△PAC的边PC，AC上的中线，所以AE和PD的交点N为△PAC的重心，故N为PD靠近D的三等分点，

则，

而因为D为AC的中点，所以，

又由于E为PC的中点，

所以，

所以三棱锥B－AND的体积为．

考查方向

本题考查了立体几何证明与求体积的问题。

解题思路

本题考查立体几何证明与求体积的问题，解题步骤如下：

（1）利用线面垂直的判定定理来证明；

（2）将体积最终转化为。

易错点

求体积的时候不会转化。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

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考查方向

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点