热门试卷

（1） 设，则由于菱形的中心在轴上，顶点在轴上，所以，，而，所以，.

又，所以，即.

而不可能在轴上，所以顶点的轨迹的方程为.  (5分)

（2） ①设，， (不妨令)，则，

则，

同理，

而，

因为，所以，因此即，

所以，即直线与的斜率之和为定值.

(8分)

② 因为点横坐标为，且纵坐标大于0，所以，.

由于，且轴，所以平分，

而，所以，.

从而直线，即；

直线，即.

由消去并整理得，

所以，即.

同理消去并整理得

所以，即.

因此为所求.          (12分)

解:

（1）方法一:取中点,连结,依题意可知

△,△均为正三角形,

所以,,

又,平面,平面,

所以平面,又平面,

所以.            

方法二:连结、,依题意可知△,△均为边长为正三角形,

又为的中点,所以,,

又,平面,平面,

所以平面,

又平面,所以.                           

（2）当点为棱的中点时,四点共面,         

证明如下:             

取棱的中点,连结,,又为的中点,

所以,在菱形中,所以,

所以四点共面.         

（3）点到平面的距离即点到平面的距离,

由（1）可知,又平面平面,平面平面,

平面,所以平面,

即为三棱锥的体高.    

在中,,,

在中,,,

边上的高,

所以的面积,

设点到平面的距离为,由得

,又,

所以,

解得,  所以点到平面的距离为.     

证明：

（1）连结A1D，

∵ E，F分别是AD和DD1的中点，∴ EF∥AD 1。   

∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，

∴ AB∥D1C1，AB=D1C1。

∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1 

∴ EF∥BC1。

又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，

∴ EF∥平面AB1D1。  

（2）连结AC，则AC⊥BD。

∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，

∴ AA1⊥BD。

又，∴BD⊥平面AA1C，

∴ A1C⊥BD。 

同理可证A1C⊥BC1。

又，∴A1C⊥平面C1BD。