抛物线的标准方程和几何性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足. 过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）

A

B1

C

D2

正确答案

A

解析

过点A、B作准线的垂线，垂足为P、Q，AP=AF，BQ=BF，由图可知，

，在三角形ABF中，由余弦定理可知：，所以，再由基本不等式可知：，代入上式得，化简得,因此选择A选项。

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义、方程、几何性质、余弦定理以及均值不等式等知识点，同时考查了综合法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。

解题思路

将MN通过转化放入到一个三角形中，通过解三角形的知识进行解决。

易错点

本题容易因为对抛物线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点.

（1）求的方程；

（2）若圆与直线相切于点，求直线的方程和圆的方程.

正确答案

（1）；（2）直线：；圆：．

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，化简整理得，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、圆的方程、直线的方程、直线、与圆、抛物线的位置关系等知识点。

解题思路

（1）利用相关知识求抛物线方程；

（2）联立方程组，综合利用题中条件即可求解．

易错点

对题中条件的处理容易出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为_________________．

正确答案

-2

解析

将抛物线方程化为标准形式：，易知其焦点坐标为（0,2），其焦点在y

轴的正半轴上，将双曲线的方程化为焦点在y轴上时的标准形式：，依据

可以解得a= - 2。

考查方向

本题主要考查了双曲线与抛物线的性质，主要考查了椭圆和抛物线的标准方程。

解题思路

根据抛物线的方程求出其焦点坐标，再依据双曲线的标准方程及其性质求解。

易错点

本题容易因对抛物线的标准方程以及双曲线的标准方程理解不清楚而导致错误的出现。

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0,2)，则p等于（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意可得抛物线的焦点为, 设直线AB的斜率为, 则直线AB：，将代入抛物线方程，并整理得，则设AB的中点为，则，过点M的AB的中垂线斜率为中垂线方程：，又中垂线过点(0, 2)，所以，解得

考查方向

本题主要考查了直线的点斜式方程，抛物线的焦点坐标，根与系数之间的关系，也考查了学生的计算能力。

易错点

1、本题易在直线方程和抛物线方程联立消掉x时发生错误。2、不会由根与系数之间的关系表示AB中点的坐标，或者不知道怎么来利用弦AB的垂直平分线经过点(0,2)

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 如图所示的封闭曲线C由曲线和曲线组成，已知曲线过点，离心率为，点A,B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点

（I）求曲线的方程；

（II）若点Q是曲线上的任意点，求面积的最大值；

（III）若点F为曲线的右焦点，直线与曲线相切于点M，与x轴交于点N，直线OM与直线交于点P，求证：MF//PN.

正确答案

（1）；（2）;(3)略.

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（1）；

从而A（-2，0），所以C2的方程为x2+y2=4(y<0).

(2)由上可知：AB直线方程为：x-2y+2=0由题可知，当曲线C2在点Q的切线与AB平行时，面积最大。设切线方程为:x-2y+t=0

由直线与圆相切得：t=-2√5，或t=2√5(舍去)。此时的面积为

(3)由题可知：k≠0.

由得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0,由△=0,得m2=4k2+1.

.

所以MF//PN

考查方向

本题考查了椭圆与圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用e和c求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中的分类讨论。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7. 已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题可知：F(1，0)，渐近线为y=bx/a，利用点到直线的距离公式解得：离心率e=。

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查抛物线与双曲线的简单几何性质

解题思路

利用圆锥曲线的图像性质，即可得到结果。

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在表示待定系数时发生错误。

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 6 分

15. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，它的离心率为，那么以它的左焦点为抛物线的焦点且以原点为定点的抛物线的标准方程为

正确答案

．

解析

焦点到渐近线的距离为2得b=2，离心率说明是等轴双曲线，所以a=2,则左焦点为（-2，0），最后得

考查方向

本题主要考查了圆锥曲线的定义、性质与方程。

解题思路

先求出双曲线方程，再求双曲线左焦点，最后求抛物线标准方程

易错点

离心率为不等意识到等轴双曲线

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知抛物线的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设三条边AB,BC,AC的中点分别为M,N,Q，且M,N,Q的纵坐标分别为.若直线AB，BC，AC的斜率之和为，则的值为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

考查方向

该题主要考察了抛物线的标准方程，考察了圆锥曲线中的定值问题，属于中偏上题，较为难解

解题思路

1、该题突破在于中点，使用点差法解题

2、先解决其中两点，其他同理，简化解题过程

3、结合若直线AB，BC，AC的斜率之和为得出答案B

易错点

主要体现在两个方面①无法理清题意，②相关参数较多，解答过程繁琐导致出错

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12.已知圆C的圆心坐标为，抛物线的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C的方程为_________；

正确答案

解析

.

根据抛物线几何性质可知准线方程，则圆心到直线的距离，根据相交弦公式

所以圆的标准方程为

考查方向

本题主要考察了抛物线的几何性质，考察了直线与圆相交的性质，考察了直线和圆的相交弦问题，考察了圆的标准方程

解题思路

该题思路比较清晰，主要有以下几个步骤1、写出准线方程2、求出圆心到直线的距离3、利用相交弦公式求出半径4、带入求出圆的标准方程

易错点

本题易错点主要集中在准线的表达，弦长公式的表达

知识点

圆的一般方程直线与圆相交的性质抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点恰好在的垂直平分线上，则的长度为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为点在抛物线上，所以点C的坐标可设为，则线段PA的中点Q的坐标为．因为点F的坐标为，直线PA与直线FQ垂直，所以，即，解得．不妨取点Q的坐标为，则．

考查方向

本题考查的知识点为：

1．中点公式；

2．直线垂直的判定与性质；

3．两点间距离公式．在近几年的各省高考题出现的频率非常高，常圆锥曲线与直线交汇命题．

解题思路

设出线段PA的中点Q的坐标，因直线PA与FQ垂直，可建立方程。

易错点

解方程时易出现错误．

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

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易错点

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易错点

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易错点

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正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点