抛物线的标准方程和几何性质
共169题

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抛物线的标准方程和几何性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

11.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足. 过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）

正确答案

解析

过点A、B作准线的垂线，垂足为P、Q，AP=AF，BQ=BF，由图可知，

，在三角形ABF中，由余弦定理可知：，所以，再由基本不等式可知：，代入上式得，化简得,因此选择A选项。

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义、方程、几何性质、余弦定理以及均值不等式等知识点，同时考查了综合法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。

解题思路

将MN通过转化放入到一个三角形中，通过解三角形的知识进行解决。

易错点

本题容易因为对抛物线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点.

（1）求的方程；

（2）若圆与直线相切于点，求直线的方程和圆的方程.

正确答案

（1）；（2）直线：；圆：．

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，化简整理得，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、圆的方程、直线的方程、直线、与圆、抛物线的位置关系等知识点。

解题思路

（1）利用相关知识求抛物线方程；

（2）联立方程组，综合利用题中条件即可求解．

易错点

对题中条件的处理容易出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为_________________．

正确答案

-2

解析

将抛物线方程化为标准形式：，易知其焦点坐标为（0,2），其焦点在y

轴的正半轴上，将双曲线的方程化为焦点在y轴上时的标准形式：，依据

可以解得a= - 2。

考查方向

本题主要考查了双曲线与抛物线的性质，主要考查了椭圆和抛物线的标准方程。

解题思路

根据抛物线的方程求出其焦点坐标，再依据双曲线的标准方程及其性质求解。

易错点

本题容易因对抛物线的标准方程以及双曲线的标准方程理解不清楚而导致错误的出现。

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

11.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0,2)，则p等于（）

正确答案

解析

由题意可得抛物线的焦点为, 设直线AB的斜率为, 则直线AB：，将代入抛物线方程，并整理得，则设AB的中点为，则，过点M的AB的中垂线斜率为中垂线方程：，又中垂线过点(0, 2)，所以，解得

考查方向

本题主要考查了直线的点斜式方程，抛物线的焦点坐标，根与系数之间的关系，也考查了学生的计算能力。

易错点

1、本题易在直线方程和抛物线方程联立消掉x时发生错误。2、不会由根与系数之间的关系表示AB中点的坐标，或者不知道怎么来利用弦AB的垂直平分线经过点(0,2)

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

20. 如图所示的封闭曲线C由曲线和曲线组成，已知曲线过点，离心率为，点A,B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点

（I）求曲线的方程；

（II）若点Q是曲线上的任意点，求面积的最大值；

（III）若点F为曲线的右焦点，直线与曲线相切于点M，与x轴交于点N，直线OM与直线交于点P，求证：MF//PN.

正确答案

（1）；（2）;(3)略.

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（1）；

从而A（-2，0），所以C2的方程为x2+y2=4(y<0).

(2)由上可知：AB直线方程为：x-2y+2=0由题可知，当曲线C2在点Q的切线与AB平行时，面积最大。设切线方程为:x-2y+t=0

由直线与圆相切得：t=-2√5，或t=2√5(舍去)。此时的面积为

(3)由题可知：k≠0.

由得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0,由△=0,得m2=4k2+1.

所以MF//PN

考查方向

本题考查了椭圆与圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用e和c求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中的分类讨论。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

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