抛物线的标准方程和几何性质_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )

A(1，3)

B(1，4)

C(2，3)

D(2，4)

正确答案

D

解析

不妨设直线，带人抛物线方程有：，则，又中点，则，即

代入，可得即，又由圆心到直线的距离等于半径，

可得，由可得故选D选项。

考查方向

本题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。

解题思路

先设直线方程后代人消元得到判别式和中点，然后根据得到代人得到，最后利用圆和直线相切得到后即可得到答案。

易错点

不会转化题中给出的条件这样的直线l恰有4条；找不到r和t之间的关系导致没有思路。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 15 分

如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.

20.求点A，B的坐标；

21.求△PAB的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；；

解析

试题分析：（1）利用点斜式方程，直线与抛物线相切，求出点A坐标；利用点关于直线对称点的求法得到点B的坐标；由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y＝k(x﹣t)(k≠0)，联立，可得，

∵，解得k＝t，

∴x=2t，∴．

圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，

∴，解得．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，解得B坐标．

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

利用两点间距离公式公式和点到直线的距离公式求出三角形的底边长和高，求出三角形面积。

由（1）可得：，直线AB的方程为：，整理可得（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，

∴点P到直线AB的距离，

又．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由（1）可得AB方程：，可得点P到直线AB的距离d，又．即可得出△PAB的面积。

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点．若在点处的切线平行于的一条渐近线，则________．

正确答案

．

解析

由题意可知，双曲线的右焦点为，渐近线方程为．抛物线的焦点为．设点的坐标为，则，所以，所以．由得，所以在点处的切线的斜率为，所以，代入可得．

考查方向

本题主要考查圆锥曲线基本量、直线的斜率、函数的导数的几何意义等知识，意在考查考生的综合解决问题的能力．

解题思路

1.先根据题中给出的方程求出题中需要的基本量；2.设出点M的坐标后利用斜率相等求出，后利用在点处的切线平行于的一条渐近线再得到一个方程，联立解出答案即可。

易错点

1.不会利用导数的几何意义表示切线的斜率；2.找不到题中给出的条件。

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5. 是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由抛物线方程可知,准线方程为x=- ,过A、B分别向准线作垂线段，设垂足为、，再设A,B两点到y轴的距离为, ,根据抛物线的定义可知，|AF|+|BF|==+=8,,设AB的中点到y轴的距离为d，则d==，所以选项为C.

考查方向

抛物线的定义及其重要性质

解题思路

首先求抛物线的准线方程，再由抛物线的定义，过A,B向准线作垂线段, 再设A,B两点到y轴的距离为, , |AF|+|BF|=+=8,, 再根据梯形中位线的性质, 求出AB的中点到y轴的距离为.

易错点

抛物线的性质, 数学结合的应用.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

10.已知双曲线过抛物线的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 .

正确答案

解析

抛物线的焦点抛物线的焦点为（2,0），代入双曲线方程，

所以，，所以，，渐近线方程为：

故此题答案为。

考查方向

本题主要考查双曲线和抛物线的定义及几何性质，也在题目中考查了双曲线渐近线的应用，意在考查考生的运算求解能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常独立命题，或是与三角函数等知识点交汇命题，较易。

解题思路

先根据题意抛物线的焦点坐标为（2,0）从而得出。再由双曲线渐近线方程得到，即可得到双曲线的渐近线方程。

易错点

本题较简单，只要抛物线的定义及双曲线渐近线方程等知识熟知就不会出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为．

正确答案

解析

根据抛物线的定义到y轴的距离等于到焦点的距离减去1，所以m+1+n的最小值就等于焦点到直线的距离d，所以可以解得则的最小值为。

考查方向

圆锥曲线的问题。

解题思路

本题考查数形结合思想来解答，画出示意图，然后求出最值。

易错点

不会想到抛物线的定义来解答。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）

A

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

如图：注意点Q的位置

根据题意得知

选C

考查方向

本题重点考察了抛物线的标准方程和几何性质，考察了抛物线焦点弦的性质，考察了不等式的应用，借助于数形结合，该题属于简单题

解题思路

1）把转化为点Q到准线的距离问题，

2）利用不等式的性质直接得出结果

易错点

主要易错于的转换

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线的有关应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5. 是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由抛物线方程可知,准线方程为x=- ,过A、B分别向准线作垂线段，设垂足为、，再设A,B两点到y轴的距离为, ,根据抛物线的定义可知，|AF|+|BF|==+=8,,设AB的中点到y轴的距离为d，则d==，所以选项为C.

考查方向

抛物线的定义及其重要性质

解题思路

首先求抛物线的准线方程，再由抛物线的定义，过A,B向准线作垂线段, 再设A,B两点到y轴的距离为, , |AF|+|BF|=+=8,, 再根据梯形中位线的性质, 求出AB的中点到y轴的距离为.

易错点

抛物线的性质, 数学结合的应用.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5. 是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由抛物线方程可知,准线方程为x=- ,过A、B分别向准线作垂线段，设垂足为、，再设A,B两点到y轴的距离为, ,根据抛物线的定义可知，|AF|+|BF|==+=8,,设AB的中点到y轴的距离为d，则d==，所以选项为C.

考查方向

抛物线的定义及其重要性质

解题思路

首先求抛物线的准线方程，再由抛物线的定义，过A,B向准线作垂线段, 再设A,B两点到y轴的距离为, , |AF|+|BF|=+=8,, 再根据梯形中位线的性质, 求出AB的中点到y轴的距离为.

易错点

抛物线的性质, 数学结合的应用.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则（）

A3

B6

C9

D12

正确答案

B

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

知识点