热门试卷

本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

（1）抛物线的准线的方程为，

由点的纵坐标为，得点的坐标为

所以点到准线的距离，又。

所以.

（2）设，则圆的方程为，

即.

由，得

设，，则：

由，得

所以，解得，此时

所以圆心的坐标为或

从而，，即圆的半径为

本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。

（1）解：当a=1,b=2时，

因为f’（x）=（x-1）（3x-5）

故f’（2）=1

f（2）=0,

所以f（x）在点（2,0）处的切线方程为y=x-2

（2）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），

由于a<b.

故a<.

所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝.[

不妨设x1＝a，x2＝，

因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，

故x3＝b.

又因为－a＝2（b－），

x4＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差数列，

所以存在实数x4满足题意，且x4＝.

(1)由题意知得

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x－y=0，所以设线段AB的中点为Q(m，m)。

由题意，设直线AB的斜率为k(k≠0)。

由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1。

所以直线AB方程为y－m＝(x－m)，

即x－2my＋2m2－m＝0。

由

消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，

所以＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m。

从而|AB|＝·|y1－y2|＝。

设点P到直线AB的距离为d，

则。

设△ABP的面积为S，

则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·。

由＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1。

令u＝，0＜u≤，则S＝u(1－2u2)。

设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，

则S′(u)＝1－6u2。

由S′(u)＝0，得，

所以S(u)max＝。

故△ABP面积的最大值为

（1）因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为.

因为点M(，y0)在切线MA及抛物线C2上，

于是，①

.②

由①②得p＝2.

（2）设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知，③

.④

切线MA，MB的方程为

，⑤

⑥

由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为

，.

因为点M(x0，y0)在C2上，即＝－4y0，

所以.⑦

由③④⑦得

，x≠0.

当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足.

因此AB中点N的轨迹方程为.