抛物线的标准方程和几何性质
共169题

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抛物线的标准方程和几何性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆。

（1）求的值；

（2）证明：圆与轴必有公共点；

（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为

由得方程，

由直线与抛物线相切，得

且，从而，即，

由，解得，

∴的中点的坐标为

圆心到轴距离，

∵

所圆与轴总有公共点.

(或由, ,以线段为直径的方程为:

令得

,所圆与轴总有公共点）.

（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，

由（2）知，

∴ 。

由得，

所以，即或

所以平面上存在定点，使得圆恒过点.

证法二：由（2）知，，的中点的坐标为

所以圆的方程为

整理得

上式对任意均成立，

当且仅当，解得

所以平面上存在定点，使得圆恒过点.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=lkm，DB=2km，A，B间的距离为3km，某公交公司要在AB之间的某点N处建造一个公交站台，使得N对C、D两个小区的视角CND最大，则N处与A处的距离为 km。

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知抛物线上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是 .

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

抛物线的焦点坐标为

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（）

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

抛物线的焦点坐标为；

正确答案

（0,1）

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知A.B是抛物线上的两点，线段AB的中点为M（2，2），则|AB|等于。

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

设抛物线的焦点为F，其准线与轴的交点为Q，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若，则直线的方程为。

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

抛物线的顶点在原点焦点在轴上，且经过点，圆过定点，且圆心在抛物线上，记圆与轴的两个交点为。

(1)求抛物线的方程；

(2)当圆心在抛物线上运动时，试问是否为一定值？请证明你的结论；

(3)当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

若抛物线y2=2px（p >0）的焦点在直线x－2y －2 =0上，则该抛物线的准线方程为

Ax= －2

Bx=4

Cx=－8

Dy= －4

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

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