抛物线的标准方程和几何性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆。

（1）求的值；

（2）证明：圆与轴必有公共点；

（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为

由得方程，

由直线与抛物线相切，得

且，从而，即，

由，解得，

∴的中点的坐标为

圆心到轴距离，

∵

所圆与轴总有公共点.

(或由, ,以线段为直径的方程为:

令得

,所圆与轴总有公共点）.

（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，

由（2）知，

∴ 。

由得，

所以，即或

所以平面上存在定点，使得圆恒过点.

证法二：由（2）知，，的中点的坐标为

所以圆的方程为

整理得

上式对任意均成立，

当且仅当，解得

所以平面上存在定点，使得圆恒过点.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=lkm，DB=2km，A，B间的距离为3km，某公交公司要在AB之间的某点N处建造一个公交站台，使得N对C、D两个小区的视角CND最大，则N处与A处的距离为 km。

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

抛物线的焦点坐标为

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（）

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

抛物线的焦点坐标为；

正确答案

（0,1）

解析

略

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