定义法求轨迹方程
共97题

· 定义法求轨迹方程

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题型：简答题

简答题 · 12 分

在平面直角坐标系中,已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4。

（1）求曲线的方程；

（2）设过的直线与曲线交于两点，以线段为直径作圆。试问：该圆能否经过坐标原点? 若能，请写出此时直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）设椭圆的方程为，

由题意得，，则。

所以动点M的轨迹方程为………………………………………………4分

（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意………………………………………………5分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，

若，则………………………………………………6分

∵，，∴。

∴ ，………… ① ………………………………………………7分

由方程组得。

, ∴………… ②………………………………………………8分

则，………………………………………………9分

代入①，得………………………………………………10分

解得，∴或,满足②式………………………………………………11分

所以，存在直线,其方程为或………………………………………………12分

注：方法与过程不一定一样，请灵活给分。

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线。

（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值。

正确答案

（1）2x-y-6=0，

（2）P，

解析

（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分

∵曲线的直角坐标方程为：，

∴曲线的参数方程为：.………………5分

（2）设点P的坐标，则点P到直线的距离为：

，………………7分

∴当s1n(600－θ)=-1时，点P，此时.…………10分

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，射线与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D。

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求“的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值

正确答案

见解析

解析

解：（1）：

：，

因为曲线关于曲线对称，，：

（2）；

，

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程。

正确答案

（1）

解析

（1）对于曲线消去参数得：

当时，；当时，. (3分)

对于曲线：，，则. (5分)

（2）当时，曲线的方程为，联立的方程消去得

，即，

，

圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)

知识点

定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求曲线C的参数方程；

（2）当时，求直线与曲线C交点的极坐标。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）由，可得

所以曲线的直角坐标方程为，……………2分

标准方程为

曲线的极坐标方程化为参数方程为 ………5分

（2）当时，直线的方程为，

化成普通方程为……………………………7分

由，解得或…………………………9分

所以直线与曲线交点的极坐标分别为，;,.………………………………10分

知识点

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