由数列的前几项求通项
共480题

· 由数列的前几项求通项

由数列的前几项求通项
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等比数列各项均为正数，其前n项和为，数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）设公比为q，则依题意为

即

（2）① ②

①－②式有：

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。

（1）求的值；

（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；

（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知，得， ∴

（2）由得则，

∴，即，

于是有，并且有，

∴即，

而是正整数，则对任意都有，

∴数列是等差数列，其通项公式是。

（3）∵

∴

；

由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 4 分

定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：

（1）2*2006=1；

（2）（2n+2）*2006=3•[（2n）*2006]，

则2008*2006的值是　　。

正确答案

31003

解析

解：设（2n）*2006=an，

则（2n+2）*2006=an+1，且a1=1，

∴an+1=3an，

∴an=3n﹣1，

即（2n）*2006=3n﹣1，

∴2008*2006=31003。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 16 分

设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。

（1）求数列的通项公式；

（2）试确定实数的值，使得数列为等差数列；

（3）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，则，解得或

因为为正整数，所以，

又，所以

（2）当时，得，

同理：时，得；时，得，

则由，得。

而当时，，得。

由，知此时数列为等差数列。

（3）由题意知，

则当时，，不合题意，舍去；

当时，，所以成立；

当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则

又，所以，

即，所以

因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。

即当时，

综上所述，满足题意的正整数仅有。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知正数数列对任意，都有，若，则= .

正确答案

512

解析

由，可得，

则

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 16 分

将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：

已知表中的第一列数构成一个等差数列，记为，且.表中每一行正中间一个数构成数列，其前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且.①求；②记，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解：（1）设数列的公差为，

则，解得，所以

（2）①设每一行组成的等比数列的公比为

由于前行共有个数，且，

所以。

所以，又，解得

因此， = 2n ·

所以

因此

解得

②由①知，，不等式，可化为

设，

计算得

因为

所以当时，

因为集合的元素的个数为3，所以的取值范围是

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

等比数列中，.若分别为等差数列的第4项和第16项，则数列的前项和= 。

正确答案

解析

设的公比为, 由已知得，解得.

又，所以.

则，，则，.

设的公差为，则有解得

则数列的前项和

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为 ▲ 。

正确答案

解析

，

本题首先应整体观察出三个对数值之间的关系，并由此选定log32，得出log272=log32，log92=log32，最后通过假设将x用log32表示。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知5×5数字方阵：中，

则= ▲ 。

正确答案

-1

解析

假如题中出现，应注意a15中5为1的倍数。题中方阵是一个迷惑，应排除这一干扰因素，本题的实质就是先定义aij，后求和，应注意两个求和符号∑中的上下标是不一致的，解题应把求和给展开。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9﹣的值是（　　）

A14

B15

C16

D17

正确答案

解析

解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，

所以a9﹣=（3a9﹣a11）=（a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）==16

知识点

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