- 由数列的前几项求通项
- 共480题
已知等比数列中,
,
,则公比
=( )
正确答案
解析
略
知识点
数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2,数列{bn}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列。
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(3)求证:<5。
正确答案
见解析。
解析
解:(1)∵Sn=2an﹣2,
∴当=1时,a1=2a1﹣2,解得a1=2;
当n=2时,S2=2+a2=2a2﹣2,解得a2=4;
当n=3时,s3=a1+a2+a3=2a3﹣2,解得a3=8.
(2)当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1
得an=2an﹣1又,a1=2,
∴数列{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为,
b1=a1=2,设公差为d,则由且b1,b3,b11成等比数列
得(2+2d)2=2(2+10d),
解得d=0(舍去)或d=3,
∴bn=3n﹣1.
(3)令Tn=
=,
∴2Tn=,
两式式相减得=2+
=5﹣,
又>0,故:
<5.,﹣﹣﹣
知识点
已知数列,若存在正整数
,对一切
都有
,则称数列
为周期数列,
是它的一个周期,例如:
数列,
,
,
,… ① 可看作周期为1的数列;
数列,
,
,
,… ② 可看作周期为2的数列;
数列,
,
,
,
,
,… ③ 可看作周期为3的数列…
(1)对于数列②,它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式;
(2)求数列③的前项和
;
(3)在数列③中,若,且它有一个形如
的通项公式,其中
、
、
、
均为实数,
,
,
,求该数列的一个通项公式
。
正确答案
见解析
解析
(1)或
等,(3分)
(2)当时,
;(5分)
当时,
;(7分)
当时,
(
),(9分)
(3)由题意,,应有
,得
,(10分)
于是,
把,
,
代入上式得
(12分)
由(1)(2)可得,再代入(1)的展开式,可得
,与(3)联立得
,(13分)
,于是
,因为
,所以
,(14分)
于是可求得,(15分)
故(
)
或写成(
,
),(16分)
知识点
设定义在上的函数
满足:①对于任意实数
都有
;②
.则
= ;若
,数列
的前项和为
,则
的最大值是 .
正确答案
5,10
解析
略
知识点
已知数列的前
项和为
,且对于任意
,总有
。
(1)求数列的通项公式;
(2)在与
之间插入
个数,使这
个数组成等差数列,当公差
满足
时,求
的值并求这个等差数列所有项的和
;
(3)记,如果
(
),问是否存在正实数
,使得数列
是单调递减数列?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)当时,由已知
,得
。
当时,由
,
,两式相减得
,
即,所以
是首项为
,公比为
的等比数列。
所以,(
)。 ………………4分
(2)由题意,,故
,即
,………………6分
因为,所以
,即
,解得
,…………8分
所以,所以所得等差数列首项为
,公差为
,共有
项,………………10分
所以这个等差数列所有项的和。 ………………11分
所以,,
。 ………………12分
(3)由(1)知,所以
,………………14分
由题意,,即
对任意
成立,
所以对任意
成立,………………16分
因为在
上是单调递增的,所以
的最小值为
。
所以,由
得
的取值范围是
。
所以,当时,数列
是单调递减数列
知识点
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