空间两点间的距离公式
共8题

· 空间两点间的距离公式

空间两点间的距离公式
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题型：简答题

简答题 · 12 分

18.如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

（I）证明G是AB的中点；

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

正确答案

(1)证明

∵ PD 面ABC ∴ PDAB

∵ DE面PAB ∴ DEAB

又∵ PDDE ∴ AB平面PGD ∴ PGAB

∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点

(2）正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形

∴PAPB,PBPC,PCPA,∴ PB平面PAC

作EF//PB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影

正三棱锥P-ABC中，D 为三角形ABC的重心，PA=6 ∴ AB=

∴DG=PG=∴PD=

中由摄影定理PD=PEPG ∴ PE=

∵ 为等腰三角形，EFPA ∴EF=PF=

D-PEF的高为DE.

RtPGD中 DE==2

∴四面体PDEF体积

知识点

空间中直线与平面之间的位置关系空间两点间的距离公式

题型：简答题

简答题 · 12 分

18.

如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

（I）证明G是AB的中点；

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

正确答案

(1)证明：∵ PD面ABC ∴ PDAB

∵ DEB ∴ DEAB

又∵ PD ∴ AB平面PGD ∴ PG

∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点

(2) 正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形

∴ PA, PB, PC, ∴ PB

作EF//PB交PA于F 则EF ∴ F为E在平面PAC内正投影

正三棱锥P-ABC中,D为三角形ABC的重心，PA=6 ∴ AB=6

∴ DG=PG=3 ∴ PD==

Rt△PGD中由射影定理PD=PE·PG ∴ PE=

∵ △PAB为等腰直角三角形，EF ∴ EF=PF=×=2

∴ S△PAB=×2×2=2. D-PEF的高为DE.

Rt△PGD中 DE===2

∴ 四面体PDEF体积 VD-PEF=·S△PEF×DE=×2×2=

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积空间两点间的距离公式

题型：简答题

简答题 · 15 分

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点。

(1)证明：BD⊥平面APC；

(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；

(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值。

正确答案

见解析

解析

(1)设点O为AC，BD的交点。

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线。

所以O为AC的中点，BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD.

所以BD⊥平面APC.

(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角。

由题意得OG＝PA＝.

在△ABC中，

AC＝

＝，

所以OC＝AC＝.

在直角△OCD中，OD＝＝2.

在直角△OGD中，tan∠OGD＝.

所以DG与平面APC所成的角的正切值为.

(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG.

在直角△PAC中，得PC＝.

所以GC＝.

从而PG＝，

所以

知识点

空间两点间的距离公式

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，线段与弧交于点，且，平面外一点满足平面,。

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。

正确答案

见解析

解析

（1）平面,

平面，

，……………………4分

异面直线与所成角的大小为。…………………6分

（2）连结，在中，由余弦定理得：

， ………………………8分

由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为，高为。……10分

该圆锥的体积为。 …………………12分

知识点

空间两点间的距离公式

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图6，在三棱锥中，，，

为的中点，为的中点，且△为正三角形。

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到平面的距离。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：在正中，是的中点，所以。

因为是的中点，是的中点，所以，故。

又，，平面，

所以平面

因为平面，所以。

又平面，

所以平面。

（2）解法1：设点到平面的距离为，

因为，是的中点，所以。

因为为正三角形，所以。

因为，所以。

所以。

因为，

由（1）知，所以。

在中，，

所以。

因为，

所以，

即。

所以。

故点到平面的距离为。

解法2：

过点作直线的垂线，交的延长线于点，

由（1）知，平面，，

所以平面。

因为平面，所以。

因为，所以平面。

所以为点到平面的距离。

因为，是的中点，所以。

因为为正三角形，所以，……10分

因为为的中点，所以。

以下给出两种求的方法：

方法1：在△中，过点作的垂线，垂足为点，

则。

因为，

所以

方法2：在△中，。 ①

在△中，因为，

所以，

即。 ②

由①，②解得。

故点到平面的距离为。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质空间两点间的距离公式

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