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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列的前项和为,若数列是公比为的等比数列,

(1)求数列的通项公式

(2)设,求数列的前项和

正确答案

见解析

解析

(1)

时,,且

所以数列的通项公式为,…………………………6分

(2)

   ,……………12分

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列的前项和为,且满足,数列满足为数列的前项和。

(1)求数列的通项公式

(2)若对任意的不等式恒成立,求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)当n=1时,=1,

当n≥2时,=2n-1,验证当n=1时,也成立;

所以,=2n-1

所以,

(2)由(1)得:

当n为奇数时,恒成立,

因为当n为奇数时,单调递增,所以当n=1时,取得最小值为0,

此时,<0。

当n为偶数时,恒成立,

因为当n为偶数时,单调递增,所以当n=2时,取得最小值为

此时,

综上所述,对于任意的正整数n,原不等式恒成立,的取值范围是(-,0)。

知识点

由an与Sn的关系求通项an
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

如图,三行三列的方阵有9个数从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析


知识点

由an与Sn的关系求通项an
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,b2=5,,且公差d=2.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)是否存在正整数n,使得a1b1+ a2b2+…+ anbn>60n?若存在,求n的最小值,若不存在,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)∵an+1=2Sn+1,当n≥2时,an=2Sn-1+1两式相减得:an+1=3an(n≥2)

又a2=2a1+1=3=3a1,∴an+1=3an(n∈N*).

∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1.

又b1=b2-d=5-2=3,∴bn= b1+(n-1)d=2n-1.………6′

(2)

…………………①

             …②

①-②得:

∴Tn=n×3n>60n,即3n>60,∵33=27,34=81,∴n的最小正整数为4.………12′

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和等差数列与等比数列的综合
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若数列{an}的前n项和为 ,则下列命题:

(1)若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列;

(2)数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数;

(3)若{an}是等差数列(公差d0),则的充要条件是

(4)若{an}是等比数列,则的充要条件是an+an+1=0

其中,正确命题的个数是

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

B

解析

数列{an}的前n项和为Sn,故 Sn =a1+a2+a3+…+an.若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}不一定是递增数列,如当an<0 时,数列{Sn}是递减数列,故(1)不正确;由数列{Sn}是递增数列,不能推出数列{an}的各项均为正数,如数列:0,1,2,3,…,满足{Sn}是递增数列,但不满足数列{an}的各项均为正数,故(2)不正确;若{an}是等差数列(公差d≠0),则由S1•S2…Sk=0,不能推出a1•a2…ak=0,例如数列:-3,-1,1,3,满足S4=0,但 a1•a2•a3•a4≠0,故(3)不正确,若{an}是等比数列,则由S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N)可得数列的{an}公比为-1,故有an+an+1=0.由an+an+1=0可得数列的{an}公比为-1,可得S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N),故(4)正确,故选B。

知识点

由an与Sn的关系求通项an
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为,且.

(1)求数列的通项公式;

(2)记,求证:.

正确答案

见解析 

解析

解:(1)∵a3,a5是方程的两根,且数列的公差d>0,

∴a3=5,a5=9,公差

  

又当n=1时,有b1=S1=1-

∴数列{bn}是等比数列,

(2)由(1)知 

 

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列的前项和为,若数列是公比为的等比数列,

(1)求数列的通项公式

(2)设,求数列的前项和

正确答案

见解析

解析

(1)

时,,且

所以数列的通项公式为,…………………………6分

(2)

   ,……………12分

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列的各项均是正数,其前项和为,满足.

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列的前项和为,求证:.

正确答案

见解析。

解析

(1)由题设知,  …………………………………………2分

两式相减,得.

所以.     ……………………………………4分

可见,数列是首项为2,公比为的等比数列。

所以             …………………………………………6分

(2),  ……………………………………… 8分

.     ……………………………………… 10分

=.         …………………………………………12分

知识点

由an与Sn的关系求通项an
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知各项均为正数的数列前n项和为,首项为,且成等差数列.

(1)求数列的通项公式;

(2)若,设,求数列的前n项和.

正确答案

见解析

解析

(1)由题意知   

时,        

 当时,

两式相减得

   整理得:  

∴数列是以为首项,2为公比的等比数列。

(2)                  

 ∴

 ①         ②

①-②得  

.

      

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用错位相减法求和
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

17.已知Sn为数列{an}的前n项和,且2an=Sn+n.

(1)若bn=an+1,证明:数列{bn}是等比数列;

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明分组转化法求和
下一知识点 : 由递推关系式求数列的通项公式
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