- 由an与Sn的关系求通项an
- 共102题
已知数列的前
项和为
,
,若数列
是公比为
的等比数列,
(1)求数列的通项公式
;
(2)设,
,求数列
的前
项和
,
正确答案
见解析
解析
(1),
,
当时,
,且
,
,
所以数列的通项公式为
,…………………………6分
(2)
,……………12分
知识点
已知数列的前
项和为
,且满足
,数列
满足
,
为数列
的前
项和。
(1)求数列的通项公式
(2)若对任意的不等式
恒成立,求实数
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)当n=1时,=1,
当n≥2时,=2n-1,验证当n=1时,也成立;
所以,=2n-1
=
=
=
-
)
所以,
(2)由(1)得:,
当n为奇数时,恒成立,
因为当n为奇数时,单调递增,所以当n=1时,
取得最小值为0,
此时,<0。
当n为偶数时,恒成立,
因为当n为偶数时,单调递增,所以当n=2时,
取得最小值为
,
此时,<
。
综上所述,对于任意的正整数n,原不等式恒成立,的取值范围是(-
,0)。
知识点
如图,三行三列的方阵有9个数从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
正确答案
解析
略
知识点
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,b2=5,,且公差d=2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得a1b1+ a2b2+…+ anbn>60n?若存在,求n的最小值,若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)∵an+1=2Sn+1,当n≥2时,an=2Sn-1+1两式相减得:an+1=3an(n≥2)
又a2=2a1+1=3=3a1,∴an+1=3an(n∈N*).
∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1.
又b1=b2-d=5-2=3,∴bn= b1+(n-1)d=2n-1.………6′
(2)
令…………………①
则
…②
①-②得:
∴Tn=n×3n>60n,即3n>60,∵33=27,34=81,∴n的最小正整数为4.………12′
知识点
若数列{an}的前n项和为 ,则下列命题:
(1)若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列;
(2)数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数;
(3)若{an}是等差数列(公差d0),则
的充要条件是
(4)若{an}是等比数列,则的充要条件是an+an+1=0
其中,正确命题的个数是
正确答案
解析
数列{an}的前n项和为Sn,故 Sn =a1+a2+a3+…+an.若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}不一定是递增数列,如当an<0 时,数列{Sn}是递减数列,故(1)不正确;由数列{Sn}是递增数列,不能推出数列{an}的各项均为正数,如数列:0,1,2,3,…,满足{Sn}是递增数列,但不满足数列{an}的各项均为正数,故(2)不正确;若{an}是等差数列(公差d≠0),则由S1•S2…Sk=0,不能推出a1•a2…ak=0,例如数列:-3,-1,1,3,满足S4=0,但 a1•a2•a3•a4≠0,故(3)不正确,若{an}是等比数列,则由S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N)可得数列的{an}公比为-1,故有an+an+1=0.由an+an+1=0可得数列的{an}公比为-1,可得S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N),故(4)正确,故选B。
知识点
已知等差数列的公差大于0,且
是方程
的两根,数列
的前n项的和为
,且
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)记,求证:
.
正确答案
见解析
解析
解:(1)∵a3,a5是方程的两根,且数列
的公差d>0,
∴a3=5,a5=9,公差
∴
又当n=1时,有b1=S1=1-
当
∴数列{bn}是等比数列,
∴
(2)由(1)知
∴
∴
知识点
已知数列的前
项和为
,
,若数列
是公比为
的等比数列,
(1)求数列的通项公式
;
(2)设,
,求数列
的前
项和
,
正确答案
见解析
解析
(1),
,
当时,
,且
,
,
所以数列的通项公式为
,…………………………6分
(2)
,……………12分
知识点
已知数列的各项均是正数,其前
项和为
,满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列
的前
项和为
,求证:
.
正确答案
见解析。
解析
(1)由题设知, …………………………………………2分
由两式相减,得
.
所以. ……………………………………4分
可见,数列是首项为2,公比为
的等比数列。
所以 …………………………………………6分
(2), ……………………………………… 8分
. ……………………………………… 10分
=. …………………………………………12分
知识点
已知各项均为正数的数列前n项和为
,首项为
,且
成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设
,求数列
的前n项和
.
正确答案
见解析
解析
(1)由题意知
当时,
当时,
两式相减得
整理得:
∴数列是以
为首项,2为公比的等比数列。
(2)
∴,
①
②
①-②得
.
知识点
17.已知Sn为数列{an}的前n项和,且2an=Sn+n.
(1)若bn=an+1,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn。
正确答案
解析
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知识点
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