复数的概念及几何意义
共1525题

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题型：填空题

填空题

设复数z1=2-3i、z2=3-2i在复平面内所对应的点分别为P1、P2，则(+)•(-)=______．

正确答案

复数z1=2-3i、z2=3-2i在复平面内所对应的点分别为P1、P2它们对应的向量分别是=(2，-3) ，=(3，-2)，

|| =，||=则(+)•(-)

=•-•=13-13=0

故答案为：0

题型：简答题

简答题

已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=•，|w|=2|z|．

（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：

（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(，2)，试求点P的坐标；

（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

正确答案

（I）由题设得，|w|=|•|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，

由1+m2=4，且m＞0，得m=，∴z0=1-i，

∵w=•，

∴x′+y′i=•)=(1+i)(x-yi)=x+y+(x-y)i，

由复数相等得，，

（Ⅱ）由（I）和题意得，，解得，

即P点的坐标为(，)．

（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），

其经变换后的点Q(x+y，x-y)仍在该直线上，

∴x-y=k(x+y)，

即(k+1)y=(-k)x

∵当k=0时，y=0，y=x不是同一条直线，

∴k≠0，

于是=，

即k2+2k-=0，

解得k=或k=-

题型：简答题

简答题

已知z=t+3+3i，其中t∈C，且为纯虚数．

（1）求t的对应点的轨迹；

（2）求|z|的最大值和最小值．

正确答案

（1）设t=x+yi（x，y∈R），

则===，

∵为纯虚数，

∴，即．

∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（-3，0），（3，0）两点；

（2）由t的轨迹可知，|t|=3，

∴|z-(3+3)i|=3，圆心对应3+3i，半径为3，

∴|z|的最大值为：|3+3i|+3=9，

|z|的最小值为：|3+3i|-3=3．

题型：简答题

简答题

设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

正确答案

因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数，

所以（-2p）2-4q＜0，q＞p2＞0

由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，

所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，

可知原点为椭圆短轴的一端点

根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，

可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，

焦距离=2c=|z1-z2|==2，

长轴长=2a=2=2.

题型：填空题

填空题

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率为______．

正确答案

由题意知这是一个古典概型，

试验发生包含的事件数是6×6=36，

而满足条件的事件是使得复数（m+ni）（n-mi）为实数，

先计算出复数（m+ni）（n-mi）为实数时n和m的值，

∵复数（m+ni）（n-mi）=2mn+（m2-n2）i为实数

∴m2-n2=0

∴m=n

∴满足条件的事件数是6，

∴复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率是=，

故答案为：

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