· 数系的扩充和复数的概念

· 复数的概念及几何意义

复数的概念及几何意义
共1525题

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复数的概念及几何意义
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题型：填空题

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填空题

已知=i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是______．

正确答案

由=i，得z=i（1+i）=-1+i．

所以复数z的共轭复数是-1-i．

故答案为-1-i．

1

题型：简答题

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简答题

设虚数z满足|2z+3|=|+2|．

（1）求证：|z|为定值．

（2）是否存在实数k，使+为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）依题意，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′

代入|2z+3|=|+2|得|（2x+3）+2yi|=|（x+2）-yi|，

整理得：x2+y2=3，即|z|=…6′

（2）设存在实数k，使得+为实数，

则+=+

=+

=+

=（+）+（-）i∈R，

∴-=0，

∵y≠0，

∴k=±．

故存在实数k且k=±，使+为实数…12′

1

题型：简答题

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简答题

已知复数z满足z+∈R，又|z-1|+|z-3|=4，求复数z．

正确答案

因为z+∈R，所以=z+，则+=z+，

所以z-+-=0，即(z-)(1-)=0，

所以z-=0或者z=7，即z∈R（z≠0）或|z|2=7．

（1）当z∈R（z≠0）时，|z-1|+|z-3|=4，所以z=4或者z=0（舍去）；

（2）当|z|2=7时，设z=x+yi（x，y∈R），则x2+y2=7…①，

又|z-1|+|z-3|=4，由题意可知+=1…②，

根据①②，可得x=2， y=±，所以z=2±i；

综上所述，z=2±i或者z=4．

1

题型：简答题

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简答题

已知z是复数，z+i和都是实数，（1）求复数z；（2）设关于x的方程x2+x（1+z）-（3m-1）i=0有实根，求纯虚数m．

正确答案

（1）设z=a+bi，则z+i=a+（b+1）i

∵z+i为实数∴b=-1

====

∵为实数

∴a=1则z=1-i

（2）设纯虚数m=ci则x2+x（2-i）-（3ci-1）i=0有实根

即x2+2x+3c+（1-x）i=0

∴x=1，c=-1

∴纯虚数m为-i

1

题型：简答题

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简答题

已知复数z=（a2+a）+（a+2）i（a∈R）．

（1）若复数z为实数，求实数a的值；

（2）若复数z的共轭复数对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．

正确答案

（1）复数z=（a2+a）+（a+2）i（a∈R）

若复数z为实数，则a+2=0，所以a=-2；

（2）复数z的共轭复数是=（a2+a）-（a+2）i（a∈R）

若复数z的共轭复数对应的点在第四象限，

则，解①得：a＜-1或a＞0，解②得：a＞-2，

所以不等式组的解集为{a|-2＜a＜-1或a＞0}．

所以复数z的共轭复数对应的点在第四象限的实数a的取值范围是{a|-2＜a＜-1或a＞0}．

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