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题型:简答题
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简答题 · 12 分

18.已知△ABC的三边长为a、b、c,若成等差数列.求证:B不可能是钝角.

正确答案

(用反证法证明1)

成等差数列,

∴b2≤ac 即ac-b2≥0.

假设B是钝角,则cosB<0,

由余弦定理可得,

这与cosB<0矛盾,故假设不成立.

∴B不可能是钝角.

(用反证法证明2)

成等差数列,

假设B是钝角,则

则B是△ABC的最大内角,所以b>a,b>c,

(在三角形中,大角对大边),

从而,这与矛盾,

故假设不成立,因此B不可能是钝角.

(用综合法证明)

成等差数列,

证明:∵成等差数列,

,即2ac=b(a+c),

由余弦定理和基本不等式可得,

∵a,b,c为△ABC三边,∴a+c>b,

∴cosB>0,

∴∠B<900,因此B不可能是钝角.

解析

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知识点

等差数列的性质及应用反证法的应用
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

14.已知数列的前项和分别是,已知,记,那么数列的前100项和(    )

正确答案

2009

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

由递推关系式求数列的通项公式其它方法求和分析法的思考过程、特点及应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

3.设实数x,y,z满足x+y+z=9,则实数x,y,z中(  ).

A至多有一个不大于3

B至少有一个不小于3

C至多有两个不小于3

D至少有两个不小于3

正确答案

B

解析

假设x,y,z都小于3,即x<3,y<3,z<3,则x+y+z<9,这与x+y+z=9矛盾,故选B.

知识点

反证法
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

16.已知x,y,z,a∈R,且满足x<<y<<z,则实数a的取值范围为________.

正确答案

(-∞,0)∪(1,3)

解析

∵x<<y<<z,

>0且>0且<0.

∵x<y<z,∴y-x>0,y-z<0,∴>0且<0且>0,解得1<a<3或a<0

知识点

综合法的思考过程、特点及应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12.已知函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,令m=,n=.则(  ).

Am=n

Bm<n

Cm>n

Dm与n的大小关系不确定

正确答案

A

解析

作出函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)的图象,如图.

要是两个函数有且仅有三个交点,则由图象可知,直线在(π,)内与f(x)相切,设切点为A(α,-sin α).

当x∈(π,)时,f(x)=|sin x|=-sin x,

此时f'(x)=-cos x,则-cos α=-,即α=tan α.

所以m=====n,故选A

知识点

导数的运算正弦函数的图象分析法的思考过程、特点及应用
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

29.在平面直角坐标系中,对于点、直线,我们称为点到直线的方向距离。

(1)设椭圆上的任意一点到直线的方向距离分别为,求的取值范围。

(2)设点到直线的方向距离分别为,试问是否存在实数,对任意的都有成立?若存在,求出的值;不存在,说明理由。

(3)已知直线和椭圆),设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足,且直线轴的交点为、与轴的交点为,试比较的长与的大小。

正确答案

(1)

(2)

(3) 

(1)由点在椭圆上,所以

由题意,于是

,即

(也可以先求出,再利用基本不等式易得

(2)假设存在实数,满足题设,

由题意

于是

对任意的都成立

只要即可,所以

故存在实数,对任意的都有成立。

(学生通过联想,判断直线是椭圆的切线,又证明从而得到也给分)

(3)设的坐标分别为,于是

于是

所以

综上

解析

试题分析:本题属于圆锥曲线中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,

(1)直接按照步骤来求

(2)要注意对参数的讨论.

考查方向

本题考查了直线与椭圆的位置关系,属于高考中的高频考点

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系,解题步骤如下:

1、利用新定义求解。

2、联立直线与椭圆方程求解。



易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

类比推理进行简单的合情推理分析法的思考过程、特点及应用综合法的思考过程、特点及应用
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

若函数满足:集合中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数等比源函数.

(1)判断下列函数:①;②中,哪些是等比源函数?(不需证明)

(2)证明:对任意的正奇数,函数不是等比源函数;

(3)证明:任意的,函数都是等比源函数。

正确答案

见解析

解析

(1)①②都是等比源函数.

(2)证明:假设存在正整数,使得成等比数列,

,整理得

等式两边同除以.

因为,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数,

所以等式不可能成立,

所以假设不成立,说明对任意的正奇数,函数不是等比源函数

(3)因为任意的,都有

所以任意的,数列都是以为首项公差为的等差数列.

,(其中)可得

,整理得

,则

所以

所以任意的,数列中总存在三项成等比数列.

所以任意的,函数都是等比源函数.

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明反证法的应用
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知是函数的两个零点,其中常数,设)。

(1)用表示;

(2)求证:;

(3)求证:对任意的

正确答案

见解析

解析

(1)由

因为,所以

。 …………3分

(2)由,得

,同理,

所以

所以。……………8分

(3)用数学归纳法证明。

(i)当时,由(Ⅰ)问知是整数,结论成立。

(ii)假设当)时结论成立,即都是整数。

,得

所以

所以

都是整数,且,所以也是整数。

时,结论也成立。

由(i)(ii)可知,对于一切的值都是整数。    ………13分

知识点

函数零点的判断和求解分析法的思考过程、特点及应用综合法的思考过程、特点及应用
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 直接证明、间接证明、数学归纳法

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