直接证明、间接证明、数学归纳法
共21题

直接证明、间接证明、数学归纳法
共21题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知△ABC的三边长为a、b、c，若成等差数列．求证：B不可能是钝角．

正确答案

（用反证法证明1）

∵，，成等差数列，

∴，

∴b2≤ac 即ac－b2≥0．

假设B是钝角，则cosB<0，

由余弦定理可得，

．

这与cosB<0矛盾，故假设不成立．

∴B不可能是钝角．

（用反证法证明2）

∵，，成等差数列，

∴，

假设B是钝角，则，

则B是△ABC的最大内角，所以b>a，b>c，

（在三角形中，大角对大边），

从而，这与矛盾，

故假设不成立，因此B不可能是钝角．

（用综合法证明）

∵，，成等差数列，

∴，

证明：∵，，成等差数列，

∴，即2ac=b（a+c），

由余弦定理和基本不等式可得，

，

∵a，b，c为△ABC三边，∴a+c>b，

∴，

∴cosB>0，

∴∠B<900，因此B不可能是钝角．

解析

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知识点

等差数列的性质及应用反证法的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知数列与的前项和分别是和，已知，记，那么数列的前100项和（）

正确答案

2009

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式其它方法求和分析法的思考过程、特点及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.设实数x,y,z满足x+y+z=9,则实数x,y,z中（　　）.

A至多有一个不大于3

B至少有一个不小于3

C至多有两个不小于3

D至少有两个不小于3

正确答案

解析

假设x,y,z都小于3,即x<3,y<3,z<3,则x+y+z<9,这与x+y+z=9矛盾,故选B.

知识点

反证法

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.已知x,y,z,a∈R,且满足x<<y<<z,则实数a的取值范围为________.

正确答案

(-∞,0)∪(1,3)

解析

∵x<<y<<z,

∴>0且>0且<0.

∵x<y<z,∴y-x>0,y-z<0,∴>0且<0且>0,解得1<a<3或a<0

知识点

综合法的思考过程、特点及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

12.已知函数f（x）=|sin x|的图象与直线y=kx（k>0）有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,令m=,n=.则（　　）.

Am=n

Bm<n

Cm>n

Dm与n的大小关系不确定

正确答案

解析

作出函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)的图象,如图.

要是两个函数有且仅有三个交点,则由图象可知,直线在(π,)内与f(x)相切,设切点为A(α,-sin α).

当x∈(π,)时,f(x)=|sin x|=-sin x,

此时f'(x)=-cos x,则-cos α=-,即α=tan α.

所以m=====n,故选A

知识点

导数的运算正弦函数的图象分析法的思考过程、特点及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

29．在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离。

（1）设椭圆上的任意一点到直线的方向距离分别为，求的取值范围。

（2）设点、到直线：的方向距离分别为、，试问是否存在实数，对任意的都有成立？若存在，求出的值；不存在，说明理由。

（3）已知直线：和椭圆：（），设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为、满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小。

正确答案

（1）；

（2）；

（3）

（1）由点在椭圆上，所以

由题意、，于是

又得，即

（也可以先求出，再利用基本不等式易得）

（2）假设存在实数，满足题设，

由题意，

于是

对任意的都成立

只要即可，所以

故存在实数，，对任意的都有成立。

（学生通过联想，判断直线是椭圆的切线，又证明从而得到也给分）

（3）设的坐标分别为、，于是

、于是

又，即

所以

综上

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意对参数的讨论．

考查方向

本题考查了直线与椭圆的位置关系，属于高考中的高频考点

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用新定义求解。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

类比推理进行简单的合情推理分析法的思考过程、特点及应用综合法的思考过程、特点及应用

题型：简答题

简答题 · 18 分

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.

（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（2）证明：对任意的正奇数，函数不是等比源函数；

（3）证明：任意的，函数都是等比源函数。

正确答案

见解析

解析

（1）①②都是等比源函数.

（2）证明：假设存在正整数且，使得成等比数列，

，整理得，

等式两边同除以得.

因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，

所以等式不可能成立，

所以假设不成立，说明对任意的正奇数，函数不是等比源函数

（3）因为任意的，都有，

所以任意的，数列都是以为首项公差为的等差数列.

由，（其中）可得

，整理得

，

令，则，

所以，

所以任意的，数列中总存在三项成等比数列.

所以任意的，函数都是等比源函数.

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明反证法的应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知是函数的两个零点，其中常数，设（）。

（1）用表示，;

（2）求证：;

（3）求证：对任意的，。

正确答案

见解析

解析

（1）由，。

因为，所以。

。 …………3分

（2）由，得

。

即，同理，。

所以。

所以。……………8分

（3）用数学归纳法证明。

（i）当时，由（Ⅰ）问知是整数，结论成立。

（ii）假设当（）时结论成立，即都是整数。

由，得。

即。

所以，。

所以。

即。

由都是整数，且，，所以也是整数。

即时，结论也成立。

由（i）（ii）可知，对于一切，的值都是整数。 ………13分

知识点

函数零点的判断和求解分析法的思考过程、特点及应用综合法的思考过程、特点及应用

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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