- 两条直线平行与垂直的判定与性质
- 共375题
如图，P是抛物线C：y=
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离。
正确答案
解：（Ⅰ）把x=2代入
∴点P坐标为（2，2），
由
∴过点P的切线的斜率
∴直线l的方程为y-2=-
（Ⅱ）设
∵过点P的切线斜率
∴直线l的斜率kl=
直线l的方程为
联立①②消去y，得
设
∵M是PQ的中点，
∴
消去x0，得
由x≠0知
∴
上式等号仅当
所以点M到x轴的最短距离是
过点P（-1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是（ ）。
正确答案
2x-y+4=0
已知函数f（x）=
（1）求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）f'（x）=x2+ax+b（1分）
因为f（x）有极值，∴△=a2-4b＞0（2分）
又在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，∴f'（-1）=1-a+b=1①②③④
∴b=a代入（*）式得，a2-4b＞0，∴a＞4或a＜0（6分）
（2）假若存在实数a，使f'（x）=x的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜1，
即x2+（a-1）x+a=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜1，
令g（x）=x2+（a-1）x+a，则有：
0＜a＜3∴存在实数a，且0＜a＜3使是f'（x）=x的两个根满足0＜x1＜x2＜1．
已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，
（Ⅰ）求直线l2的方程；
（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积。
正确答案
解：（Ⅰ）y′=2x+1，
直线l1的方程为y=3x-3，
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B（b，b2+b-2），
则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2，
因为l1⊥l2，则有2b+1=
所以直线l2的方程为
（Ⅱ）解方程组
所以直线l1和l2的交点的坐标为
l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、
所以所求三角形的面积
已知P点在曲线上f（x）=x4-x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为（ ）。
正确答案
（1，0）
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