- 两条直线平行与垂直的判定与性质
- 共375题
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)。已知(1,e)和(e,
)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率。
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P。
(i)若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;
(ii)求证:PF1+PF2是定值。
正确答案
解:(1)由题设知a2=b2+c2,e=,
由点(1,e)在椭圆上,得,
∴b=1,c2=a2-1
由点(e,)在椭圆上,得
∴,
∴a2=2
∴椭圆的方程为。
(2)解:由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),
又∵直线AF1与直线BF2平行,
∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,
∴由,可得(m2+2)
-2my1-1=0
∴,
∴|AF1|=①
同理|BF2|=②
(i)由①②得|AF1|-|BF2|=,
∴,解得m2=2
∵注意到m>0,
∴m=
∴直线AF1的斜率为。
(ii)证明:∵直线AF1与直线BF2平行,
∴,即
由点B在椭圆上知,,
∴
同理
∴PF1+PF2==
由①②得,,
,
∴PF1+PF2=
∴PF1+PF2是定值。
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0,
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。
正确答案
解:(Ⅰ)设双曲线C的方程为(a>0,b>0),
由题设得,解得
,
所以双曲线方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),
点的坐标满足方程组
,
将①式代入②式,得,
整理得,
此方程有两个不等实根,于是,且
,
整理得, ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标满足
,
,
从而线段MN的垂直平分线方程为,
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为,
由题设可得,
整理得,k≠0,
将上式代入③式得,
整理得,k≠0,
解得或
,
所以k的取值范围是.
直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。
正确答案
解:(1)将直线l的方程代入双曲线C的方程
后,整理得
①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故
解得k的取值范围是。
(2)设A、B两点的坐标分别为、
则由①式得 ②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)
则由FA⊥FB得:,即
整理得 ③
把②式及代入③式化简得
解得或
(舍去)
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
已知双曲线经过点
,其渐近线方程为y=±2x,
(1)求双曲线的方程;
(2)设F1,F2是双曲线的两个焦点,证明:AF1⊥AF2。
正确答案
(1)解:依题意,解得
,
所以双曲线的方程为;
(2)证明:由(1)得,,
从而以为直径的圆的方程是
,
因为点的坐标满足方程
,
故点A在以为直径的圆上,
所以。
已知双曲线C的方程为:=1,
(1)求双曲线C的顶点坐标和离心率;
(2)设双曲线C的右准线与其中一条渐近线相交于点D,点F为双曲线的右焦点,证明△ODF为直角三角形(O为坐标原点)。
正确答案
解:(1)∵a=4,b=3,c=5,
∴双曲线顶点的坐标为(±4,0),离心率e=;
(2)F(5,0),右准线方程为x=、一条渐近线方程为y=
x,
解方程组,得D(
,
),
kFD=,kOD=
,kFD·kOD=-1,
所以△ODF为直角三角形。
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