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题型:简答题
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简答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)。已知(1,e)和(e,)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率。

(1)求椭圆的方程;

(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P。

(i)若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;

(ii)求证:PF1+PF2是定值。

正确答案

解:(1)由题设知a2=b2+c2,e=

由点(1,e)在椭圆上,得

∴b=1,c2=a2-1

由点(e,)在椭圆上,得

∴a2=2

∴椭圆的方程为

(2)解:由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),

又∵直线AF1与直线BF2平行,

∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my

设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,

∴由,可得(m2+2)-2my1-1=0

∴|AF1|=

同理|BF2|=

(i)由①②得|AF1|-|BF2|=

,解得m2=2

∵注意到m>0,

∴m=

∴直线AF1的斜率为

(ii)证明:∵直线AF1与直线BF2平行,

,即

由点B在椭圆上知,

同理

∴PF1+PF2==

由①②得,

∴PF1+PF2=

∴PF1+PF2是定值。

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简答题

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0,

(Ⅰ)求双曲线C的方程;

(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。

正确答案

解:(Ⅰ)设双曲线C的方程为(a>0,b>0),

由题设得,解得

所以双曲线方程为

(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),

的坐标满足方程组

将①式代入②式,得

整理得

此方程有两个不等实根,于是,且

整理得, ③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标满足

从而线段MN的垂直平分线方程为

此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为

由题设可得

整理得,k≠0,

将上式代入③式得

整理得,k≠0,

解得

所以k的取值范围是

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简答题

直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。

(1)求实数k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。

正确答案

解:(1)将直线l的方程代入双曲线C的方程后,整理得

 ①

依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故

解得k的取值范围是

(2)设A、B两点的坐标分别为

则由①式得 ②

假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)

则由FA⊥FB得:,即

整理得 ③

把②式及代入③式化简得

解得(舍去)

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。

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简答题

已知双曲线经过点,其渐近线方程为y=±2x,

(1)求双曲线的方程;

(2)设F1,F2是双曲线的两个焦点,证明:AF1⊥AF2

正确答案

(1)解:依题意,解得

所以双曲线的方程为

(2)证明:由(1)得,

从而以为直径的圆的方程是

因为点的坐标满足方程

故点A在以为直径的圆上,

所以

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简答题

已知双曲线C的方程为:=1,

(1)求双曲线C的顶点坐标和离心率;

(2)设双曲线C的右准线与其中一条渐近线相交于点D,点F为双曲线的右焦点,证明△ODF为直角三角形(O为坐标原点)。

正确答案

解:(1)∵a=4,b=3,c=5,

∴双曲线顶点的坐标为(±4,0),离心率e=

(2)F(5,0),右准线方程为x=、一条渐近线方程为y=x,

解方程组,得D(),

kFD=,kOD=,kFD·kOD=-1,

所以△ODF为直角三角形。

百度题库 > 高考 > 数学 > 两条直线平行与垂直的判定与性质

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