热门试卷

解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，

∵，

∴切线PM的方程为：，

又∵切线PM过点P（1，0），

∴有，即x12+2tx1﹣t=0，（1）

同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）

由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，

∴（*）

=，把（*）式代入，得，

因此，函数g（t）的表达式为．

（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，

∴=，即=，

化简，得（x2﹣x1）[t（x2+x1）﹣x1x2]=0

∵x1≠x2，

∴t（x2+x1）=x2x1．（3）

把（*）式代入（3），解得．

∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且．

（Ⅲ）知g（t）在区间上为增函数，

∴（i=1，2,...，m+1），则．依题意，不等式对一切的正整数n恒成立，，即对一切的正整数n恒成立．

∵，

∴，

∴．由于m为正整数，∴m≤6．

又当m=6时，存在a1=a2═am=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．

因此，m的最大值为6．

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F的距离与动点P到直线的距离相等，

由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为y=x2．

（Ⅱ）证明：设，

由，得，

所以，

设，则，

因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为，

由y=x2，可得y′=2x，所以当x=时，y′=k，

所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．

（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：，

代入y=x2，可得， （*）

若存在两点关于直线l对称，则，

又在l上，

所以，

由方程（*）有两个不等实根，

所以，即，

所以，解得或。

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：，

所以圆心M（0，4）到抛物线的距离是。

（Ⅱ）解：设，

由题意得，

设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k(x-x0)， ①

则，

即，

设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，

所以，，

将①代入y=x2得，

由于x0是此方程的根，故，

所以，

由MP⊥AB，得，

解得，即点P的坐标为，

所以直线l的方程为。