两条直线平行与垂直的判定与性质
共375题

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两条直线平行与垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。

（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。

正确答案

解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m，

=20-4m＞0，解得：m＜5。

（Ⅱ），

将x=4-2y代入得，∴，，

∵OM⊥ON，得出：，

∴，

∴。

（Ⅲ）设圆心为（a，b），，

半径，

∴圆的方程为。

题型：简答题

简答题

已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0。

（Ⅰ）若圆C与直线l交于A、B两点，且CA⊥CB，求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使OP⊥OQ？

正确答案

解：（Ⅰ），

故所求圆的方程为：；

（Ⅱ）假设存在m，使OP⊥OQ，则设，

联立，消y，得，

且符合，存在。

题型：简答题

简答题

如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E，

（ⅰ）证明：MD⊥ME；

（ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2，问：是否存在直线l，使得=? 请说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知，从而a=2b，

又，解得a=2，b=1，

故C1，C2的方程分别为。

（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是，

又点M的坐标为（0，-1），

所以，

故MA⊥MB，即MD⊥ME。

（ⅱ）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，

由解得或，则点A的坐标为，

又直线MB的斜率为，

同理可得点B的坐标为，

于是，

由得，

解得或，

则点D的坐标为；

又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标，

于是，

因此，

由题意知，解得或，

又由点A，B的坐标可知，，所以，

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为和。

题型：简答题

简答题

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）连接AC，依题意设椭圆的标准方程为

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

∴AC=5

∴CA+CB=5+3=2a，a=4

又2c=4，

∴c=2，从而b=，

∴椭圆的标准方程为。

（2）由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|=|NE|，当l与x轴平行时，|ME|=|NE|显然成立，此时k=0

设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）

由消去y得

（3+4k2）x2+8kmx+4m2-48=0，

∵Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-48）>0，

∴16k2+12>m2，①

令M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为F（x0，y0）

则

∵|ME|=|NE|，

∴EF⊥MN，

∴kEF×k=-1

即

化简得m=-（4k2+3），

结合①得16k2+12>（4k2+3）2，

即16k4+8k2-3＜0，

解之得（k≠0）

综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为。

题型：简答题

简答题

椭圆与直线x+y-1=0相交于A、B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，

(1)求椭圆E与圆x2+y2=1的交点坐标；

(2)当|AB|=时，求椭圆E的方程。

正确答案

解：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则A、B坐标是方程组的解，

消去y，得，①

当，

即时，，同理，；

，②

由，得，③

由②、③，得，于是，

故椭圆E与圆x2+y2=1的交点坐标为。

(2)由①知，同理，

则AB中点为，

在Rt△AOB中，，

∴，④

由②、④及a＞b＞0，解得，

故椭圆E的方程为。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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